問題8-4：関数 $y = \frac{\log x}{x}$ ($x>0$) の増減を調べ、$100^{101}$ と $101^{100}$ の大小を判定せよ。 問題8-5：$a < b < c$ のとき、$\frac{e^b - e^a}{b-a} < \frac{e^c - e^b}{c-b}$ を示せ（平均値の定理を活用）。

はい、承知いたしました。画像にある2つの問題を解きます。

1. 問題の内容

問題8-4：関数 $y = \frac{\log x}{x}$ ($x>0$) の増減を調べ、$100^{101}$ と $101^{100}$ の大小を判定せよ。

問題8-5：$a < b < c$ のとき、$\frac{e^b - e^a}{b-a} < \frac{e^c - e^b}{c-b}$ を示せ（平均値の定理を活用）。

2. 解き方の手順

問題8-4：

(1) 関数の微分：

$y = \frac{\log x}{x}$ を微分する。積の微分法を用いる。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

(2) 増減の判定：

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0$ より、$1 - \log x = 0$。したがって、$\log x = 1$ となり、$x = e$。

$x < e$ のとき、$y' > 0$ より増加。

$x > e$ のとき、$y' < 0$ より減少。

よって、$x = e$ で極大値をとる。

(3) $100^{101}$ と $101^{100}$ の大小判定：

$A = 100^{101}$ と $B = 101^{100}$ とする。両辺の対数をとる。

$\log A = 101 \log 100 = 101 \log 10^2 = 202 \log 10$

$\log B = 100 \log 101$

ここで、$f(x) = \frac{\log x}{x}$ とすると、$f(100)$ と $f(101)$ を比較する。

$f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$ であるから、$x > e$ で $f(x)$ は減少関数。

したがって、$f(100) > f(101)$。つまり、$\frac{\log 100}{100} > \frac{\log 101}{101}$。

これを変形すると、$101 \log 100 > 100 \log 101$。

したがって、$\log A > \log B$。

よって、$A > B$。

問題8-5：

(1) 平均値の定理の適用：

関数 $e^x$ に平均値の定理を適用する。

$a < b$ において、$\frac{e^b - e^a}{b-a} = e^{c_1}$ を満たす $c_1 \in (a, b)$ が存在する。

$b < c$ において、$\frac{e^c - e^b}{c-b} = e^{c_2}$ を満たす $c_2 \in (b, c)$ が存在する。

(2) 不等式の証明：

$a < b < c$ であるから、$c_1 < b < c_2$。

したがって、$c_1 < c_2$。

$e^x$ は単調増加であるから、$e^{c_1} < e^{c_2}$。

よって、$\frac{e^b - e^a}{b-a} < \frac{e^c - e^b}{c-b}$ が示された。

3. 最終的な答え

問題8-4：

関数 $y = \frac{\log x}{x}$ は、$0 < x < e$ で増加、$x > e$ で減少。

$100^{101} > 101^{100}$。

問題8-5：

$a < b < c$ のとき、$\frac{e^b - e^a}{b-a} < \frac{e^c - e^b}{c-b}$ が成立する。