問題2は、与えられた関数の指定された点における左極限と右極限を求める問題です。問題3は、与えられた極限を求める問題です。

1. 問題の内容

問題2は、与えられた関数の指定された点における左極限と右極限を求める問題です。問題3は、与えられた極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題2(a): $y = \frac{(x+3)(x+1)}{|x+1|}$、 $x = -1$

* $x \to -1^{-}$ のとき、$x < -1$ なので、$x+1 < 0$、従って、$|x+1| = -(x+1)$。

よって、$\lim_{x \to -1^{-}} \frac{(x+3)(x+1)}{|x+1|} = \lim_{x \to -1^{-}} \frac{(x+3)(x+1)}{-(x+1)} = \lim_{x \to -1^{-}} -(x+3) = -(-1+3) = -2$

* $x \to -1^{+}$ のとき、$x > -1$ なので、$x+1 > 0$、従って、$|x+1| = (x+1)$。

よって、$\lim_{x \to -1^{+}} \frac{(x+3)(x+1)}{|x+1|} = \lim_{x \to -1^{+}} \frac{(x+3)(x+1)}{(x+1)} = \lim_{x \to -1^{+}} (x+3) = -1+3 = 2$

問題2(b): $y = \frac{x(x^2-5)}{|x|}$、$x = 0$

* $x \to 0^{-}$ のとき、$x < 0$ なので、$|x| = -x$。

よって、$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x(x^2-5)}{|x|} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x(x^2-5)}{-x} = \lim_{x \to 0^{-}} -(x^2-5) = -(0-5) = 5$

* $x \to 0^{+}$ のとき、$x > 0$ なので、$|x| = x$。

よって、$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x(x^2-5)}{|x|} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x(x^2-5)}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} (x^2-5) = (0-5) = -5$

問題3(a): $\lim_{x \to +0} \log x = -\infty$

問題3(b): $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{8}} x = \infty$

問題3(c): $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0} \tan x = -\infty$

問題3(d): $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}-0} \tan x = \infty$

3. 最終的な答え

問題2(a):

* 左極限: -2

* 右極限: 2

問題2(b):

* 左極限: 5

* 右極限: -5

問題3(a): $-\infty$

問題3(b): $\infty$

問題3(c): $-\infty$

問題3(d): $\infty$