関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x-1} & (x \neq 1) \\ 1 & (x=1) \end{cases}$ の連続性を調べる。

## 問1.20 (1) の解答

1. 問題の内容

関数

$f(x) = \begin{cases}

\frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x-1} & (x \neq 1) \\

1 & (x=1)

\end{cases}$

の連続性を調べる。

2. 解き方の手順

関数の連続性を調べるには、以下の3つの条件を満たすかを確認する。

(1) $f(a)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

この問題では、$x=1$ における連続性を調べる必要がある。

まず、$x \neq 1$ のとき、

$f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x-1} = \frac{x(x^2 - 3x + 2)}{x-1} = \frac{x(x-1)(x-2)}{x-1} = x(x-2)$

次に、$x=1$ のとき、$f(1)=1$

次に、$\lim_{x \to 1} f(x)$ を求める。

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x(x-2) = 1(1-2) = -1$

最後に、$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ を確認する。

$\lim_{x \to 1} f(x) = -1$ であり、$f(1) = 1$ であるため、$\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ である。

3. 最終的な答え

$x=1$ において連続ではない。

## 問1.20 (2) の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = [\sqrt{x}] (x \geq 0)$ の連続性を調べる。ただし、$[x]$ はガウス記号を表す。

2. 解き方の手順

ガウス関数は整数点で不連続となる。したがって、$\sqrt{x}$ が整数になる点、すなわち $x=n^2$ (nは非負整数) での連続性を調べれば良い。

$x = n^2$ 付近での挙動を調べる。

$x \to n^2 - 0$ のとき、$\sqrt{x} \to n - 0$ なので $[\sqrt{x}] = n-1$

$x \to n^2 + 0$ のとき、$\sqrt{x} \to n + 0$ なので $[\sqrt{x}] = n$

$f(n^2) = [\sqrt{n^2}] = [n] = n$

したがって、$\lim_{x \to n^2 - 0} f(x) = n-1$ であり、$\lim_{x \to n^2 + 0} f(x) = n$ である。

右側極限と左側極限が一致しないため、$x=n^2$ で不連続。

3. 最終的な答え

$x = n^2$ (nは非負整数) において不連続。

## 問1.20 (3) の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x+1| - |x-1|$ の連続性を調べる。

2. 解き方の手順

絶対値記号の中身が0になる点、$x=-1$ と $x=1$ で場合分けして関数を書き換える。

(1) $x < -1$ のとき、 $f(x) = -(x+1) - (-(x-1)) = -x - 1 + x - 1 = -2$

(2) $-1 \leq x < 1$ のとき、 $f(x) = (x+1) - (-(x-1)) = x + 1 + x - 1 = 2x$

(3) $x \geq 1$ のとき、 $f(x) = (x+1) - (x-1) = x + 1 - x + 1 = 2$

したがって、

$f(x) = \begin{cases}

-2 & (x < -1) \\

2x & (-1 \leq x < 1) \\

2 & (x \geq 1)

\end{cases}$

$x=-1$ における連続性:

$\lim_{x \to -1 - 0} f(x) = -2$

$\lim_{x \to -1 + 0} f(x) = 2(-1) = -2$

$f(-1) = 2(-1) = -2$

したがって、$x=-1$ で連続。

$x=1$ における連続性:

$\lim_{x \to 1 - 0} f(x) = 2(1) = 2$

$\lim_{x \to 1 + 0} f(x) = 2$

$f(1) = 2$

したがって、$x=1$ で連続。

上記より、$f(x)$ は全ての実数で連続。

3. 最終的な答え

全ての実数で連続。

## 問1.20 (4) の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x \lim_{n \to \infty} \frac{x^n - 1}{x^n + 1}$ の $x=1$ における連続性を調べる。

2. 解き方の手順

まず、極限を計算する。

$|x| < 1$ のとき、 $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$ なので $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n - 1}{x^n + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

$|x| > 1$ のとき、 $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n - 1}{x^n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^n}}{1 + \frac{1}{x^n}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

$x = 1$ のとき、 $\lim_{n \to \infty} \frac{1^n - 1}{1^n + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$

$x = -1$ のとき、 $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n - 1}{(-1)^n + 1}$ は振動して極限を持たない。

したがって、

$f(x) = \begin{cases}

-x & (|x| < 1) \\

x & (|x| > 1) \\

0 & (x = 1) \\

定義されない & (x = -1)

\end{cases}$

$x=1$ における連続性:

$\lim_{x \to 1 - 0} f(x) = \lim_{x \to 1 - 0} -x = -1$

$\lim_{x \to 1 + 0} f(x) = \lim_{x \to 1 + 0} x = 1$

$f(1) = 0$

左右の極限が一致しないため、$x=1$ で不連続。

3. 最終的な答え

$x=1$ において不連続。