問題は3つあります。 問題7-1: 関数 $y = e^x - e^{-x}$ の逆関数とその導関数を求めよ。 問題7-2: 関数 $y = x^x$ （$x > 0$）の導関数を求めよ。 問題7-3: 3つの微分可能な関数 $f, g, h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ に対して、合成関数 $w = (h \circ f \circ g)(x) = h(f(g(x)))$ の微分 $\frac{dw}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題7-1: 関数 $y = e^x - e^{-x}$ の逆関数とその導関数を求めよ。

問題7-2: 関数 $y = x^x$ （$x > 0$）の導関数を求めよ。

問題7-3: 3つの微分可能な関数 $f, g, h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ に対して、合成関数 $w = (h \circ f \circ g)(x) = h(f(g(x)))$ の微分 $\frac{dw}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問題7-1:

まず、逆関数を求めます。$y = e^x - e^{-x}$ を $x$ について解きます。

$y = e^x - \frac{1}{e^x}$

$ye^x = e^{2x} - 1$

$e^{2x} - ye^x - 1 = 0$

$e^x$ についての二次方程式と見なすと、

$e^x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4}}{2}$

$e^x > 0$ なので、$e^x = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}$ となります。

したがって、$x = \ln \left( \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2} \right)$ が逆関数です。

逆関数の導関数を求めるには、合成関数の微分法を使います。

元の関数 $y(x) = e^x - e^{-x}$ の導関数は

$\frac{dy}{dx} = e^x + e^{-x}$ です。

逆関数を $x(y) = \ln \left( \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2} \right)$ と書くと、$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$の関係が成り立ちます。

$\frac{dy}{dx} = e^x + e^{-x} = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2} + \frac{2}{y + \sqrt{y^2 + 4}} = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2} + \frac{2( \sqrt{y^2 + 4} - y)}{(y + \sqrt{y^2 + 4})(\sqrt{y^2 + 4} - y)} = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2} + \frac{2( \sqrt{y^2 + 4} - y)}{y^2 + 4 - y^2} = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2} + \frac{\sqrt{y^2 + 4} - y}{2} = \sqrt{y^2 + 4}$

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sqrt{y^2 + 4}}$

問題7-2:

$y = x^x$ の導関数を求めます。両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

問題7-3:

$w = h(f(g(x)))$ の微分 $\frac{dw}{dx}$ を求めます。合成関数の微分法（連鎖律）を繰り返し適用します。

$\frac{dw}{dx} = \frac{dh}{df} \frac{df}{dg} \frac{dg}{dx} = h'(f(g(x))) f'(g(x)) g'(x)$

3. 最終的な答え

問題7-1:

逆関数: $x = \ln \left( \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2} \right)$

導関数: $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sqrt{y^2 + 4}}$

問題7-2:

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

問題7-3:

$\frac{dw}{dx} = h'(f(g(x))) f'(g(x)) g'(x)$