極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1}$ を求める。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、以下の問題を解きます。

* (3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1}$

* (7) $\lim_{x \to -\infty} x(x + \sqrt{x^2 - 1})$

* (8) $\lim_{x \to 0} \frac{x - [x]}{x}$

* (10) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{\sqrt{x+1}} - 1)$

* (11) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{a^x} (a > 1)$

**問題(3)**

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1}$ を求める。

2. 解き方の手順

$x - 1 = h$ とおくと、$x = h + 1$。$x \to 1$ のとき、$h \to 0$ となる。

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{(h+1)^n - 1}{h}$

二項定理より、 $(h+1)^n = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2!}h^2 + \dots + h^n$

よって、

$\lim_{h \to 0} \frac{(h+1)^n - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + nh + \frac{n(n-1)}{2!}h^2 + \dots + h^n - 1}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{nh + \frac{n(n-1)}{2!}h^2 + \dots + h^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (n + \frac{n(n-1)}{2!}h + \dots + h^{n-1})$

$= n$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} = n$

**問題(7)**

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -\infty} x(x + \sqrt{x^2 - 1})$ を求める。

2. 解き方の手順

$x < 0$ なので、$x = -\sqrt{x^2}$ であることに注意する。

$\lim_{x \to -\infty} x(x + \sqrt{x^2 - 1}) = \lim_{x \to -\infty} x^2(1 + \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x})$

$= \lim_{x \to -\infty} x^2(1 - \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}})$

$= \lim_{x \to -\infty} x^2(1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}})$

ここで、$t = \frac{1}{x^2}$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき $t \to 0$ となる。

$\lim_{x \to -\infty} x^2(1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (1 - \sqrt{1 - t})$

$= \lim_{t \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - t}}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{(1 - \sqrt{1 - t})(1 + \sqrt{1 - t})}{t(1 + \sqrt{1 - t})}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{1 - (1 - t)}{t(1 + \sqrt{1 - t})}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{t}{t(1 + \sqrt{1 - t})}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{1}{1 + \sqrt{1 - t}}$

$= \frac{1}{1 + \sqrt{1 - 0}}$

$= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to -\infty} x(x + \sqrt{x^2 - 1}) = \frac{1}{2}$

**問題(8)**

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - [x]}{x}$ を求める。ただし、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表す。

2. 解き方の手順

$x \to 0$ の場合、右側極限と左側極限を考える必要がある。

* $x \to 0^+$ のとき、$0 < x < 1$ となるので、$[x] = 0$。

よって、$\lim_{x \to 0^+} \frac{x - [x]}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$

* $x \to 0^-$ のとき、$-1 < x < 0$ となるので、$[x] = -1$。

よって、$\lim_{x \to 0^-} \frac{x - [x]}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - (-1)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x + 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} (1 + \frac{1}{x}) = -\infty$

右側極限と左側極限が異なるため、極限は存在しない。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。

**問題(10)**

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{\sqrt{x+1}} - 1)$ を求める。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{\sqrt{x+1}} - 1) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{x+1}}{x\sqrt{x+1}}$

分子を有理化する。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{x+1})(1 + \sqrt{x+1})}{x\sqrt{x+1}(1 + \sqrt{x+1})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (x+1)}{x\sqrt{x+1}(1 + \sqrt{x+1})} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x\sqrt{x+1}(1 + \sqrt{x+1})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\sqrt{x+1}(1 + \sqrt{x+1})} = \frac{-1}{\sqrt{0+1}(1 + \sqrt{0+1})} = \frac{-1}{1(1+1)} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{\sqrt{x+1}} - 1) = -\frac{1}{2}$

**問題(11)**

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{a^x} (a > 1)$ を求める。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{a^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^x \ln a} = 0$

なぜなら、$a > 1$ なので、$a^x$ は $x \to \infty$ で無限大に発散する。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{a^x} = 0$