区間 $[0, 2\pi]$ で定義された二つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ がある。自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ および $R_{gg}(\tau)$ を求めよ（規格化すること）。

1. 問題の内容

区間 $[0, 2\pi]$ で定義された二つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ がある。自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ および $R_{gg}(\tau)$ を求めよ（規格化すること）。

2. 解き方の手順

自己相関関数は以下のように定義されます。

$R_{ff}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} f(t)f(t+\tau) dt$

$R_{gg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} g(t)g(t+\tau) dt$

まず、$R_{ff}(\tau)$ を計算します。

$R_{ff}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \sin t \sin (t+\tau) dt$

三角関数の積和の公式を用いて、$\sin t \sin (t+\tau) = \frac{1}{2}[\cos \tau - \cos(2t+\tau)]$ となります。

$R_{ff}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}[\cos \tau - \cos(2t+\tau)] dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos \tau dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos(2t+\tau) dt$

$R_{ff}(\tau) = \frac{1}{2} \cos \tau \int_{0}^{2\pi} dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos(2t+\tau) dt = \frac{1}{2} \cos \tau [t]_{0}^{2\pi} - \frac{1}{2} [\frac{1}{2}\sin(2t+\tau)]_{0}^{2\pi}$

$R_{ff}(\tau) = \frac{1}{2} \cos \tau (2\pi - 0) - \frac{1}{4} [\sin(4\pi+\tau) - \sin \tau] = \pi \cos \tau - \frac{1}{4} [\sin \tau - \sin \tau] = \pi \cos \tau$

したがって、$R_{ff}(\tau) = \pi \cos \tau$

次に、$R_{gg}(\tau)$ を計算します。

$R_{gg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \cos t \cos (t+\tau) dt$

三角関数の積和の公式を用いて、$\cos t \cos (t+\tau) = \frac{1}{2}[\cos \tau + \cos(2t+\tau)]$ となります。

$R_{gg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}[\cos \tau + \cos(2t+\tau)] dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos \tau dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos(2t+\tau) dt$

$R_{gg}(\tau) = \frac{1}{2} \cos \tau \int_{0}^{2\pi} dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos(2t+\tau) dt = \frac{1}{2} \cos \tau [t]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{2} [\frac{1}{2}\sin(2t+\tau)]_{0}^{2\pi}$

$R_{gg}(\tau) = \frac{1}{2} \cos \tau (2\pi - 0) + \frac{1}{4} [\sin(4\pi+\tau) - \sin \tau] = \pi \cos \tau + \frac{1}{4} [\sin \tau - \sin \tau] = \pi \cos \tau$

したがって、$R_{gg}(\tau) = \pi \cos \tau$

規格化するために、$\tau = 0$ の時の値で割ります。$R_{ff}(0) = \pi$ および $R_{gg}(0) = \pi$ なので、

規格化された自己相関関数はそれぞれ、

$R_{ff}(\tau) / R_{ff}(0) = \frac{\pi \cos \tau}{\pi} = \cos \tau$

$R_{gg}(\tau) / R_{gg}(0) = \frac{\pi \cos \tau}{\pi} = \cos \tau$

3. 最終的な答え

$R_{ff}(\tau) = \cos \tau$

$R_{gg}(\tau) = \cos \tau$