曲線 $y = \frac{1}{x}$、直線 $y = 1$, $y = 3$, $x = 0$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに回転してできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x}$、直線 $y = 1$, $y = 3$, $x = 0$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに回転してできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{x}$ を $x$ について解きます。

$y = \frac{1}{x}$ より、

$x = \frac{1}{y}$

次に、$y$ 軸のまわりに回転させる体積を求める積分を設定します。

体積 $V$ は、$y$ を変数として積分することで求まります。

積分範囲は、$y = 1$ から $y = 3$ までです。

回転体の体積の公式は

$V = \pi \int_{c}^{d} [f(y)]^2 dy$

ここで、$f(y)$ は回転軸からの距離を表し、この場合は $x = \frac{1}{y}$ となります。

$V = \pi \int_{1}^{3} (\frac{1}{y})^2 dy = \pi \int_{1}^{3} \frac{1}{y^2} dy$

$V = \pi \int_{1}^{3} y^{-2} dy = \pi [-y^{-1}]_{1}^{3} = \pi [-\frac{1}{y}]_{1}^{3}$

$V = \pi (-\frac{1}{3} - (-1)) = \pi (1 - \frac{1}{3}) = \pi (\frac{2}{3})$

$V = \frac{2}{3} \pi$

与えられた問題文の形式に合わせて考えると、

A: $\frac{1}{y}$

B: $\pi$

C: $1$

D: $3$

E: $(\frac{1}{y})^2$

F: $(\frac{1}{y})^2$

G: $2$

H: $3$

3. 最終的な答え

A: $\frac{1}{y}$

B: $\pi$

C: $1$

D: $3$

E: $(\frac{1}{y})^2$

F: $$

G: $2$

H: $3$