与えられた関数 $f(x)$ のマクローリン展開（$x=0$ のまわりのテイラー展開）の、0でない最初の3項を求める問題です。関数は以下の3つです。 (a) $f(x) = e^{2x}$ (b) $f(x) = \sin(2x)$ (c) $f(x) = \cos(3x)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ のマクローリン展開（$x=0$ のまわりのテイラー展開）の、0でない最初の3項を求める問題です。関数は以下の3つです。

(a) $f(x) = e^{2x}$

(b) $f(x) = \sin(2x)$

(c) $f(x) = \cos(3x)$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

各関数について、必要な回数だけ微分を行い、$x=0$ での値を計算します。その後、上記の式に代入して最初の3項を求めます。

(a) $f(x) = e^{2x}$ の場合：

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(x) = 2e^{2x}$, $f'(0) = 2e^0 = 2$

$f''(x) = 4e^{2x}$, $f''(0) = 4e^0 = 4$

$f'''(x) = 8e^{2x}$, $f'''(0) = 8e^0 = 8$

よって、マクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \dots = 1 + 2x + 2x^2 + \dots$

(b) $f(x) = \sin(2x)$ の場合：

$f(0) = \sin(0) = 0$ (これは0なので次の項を探す)

$f'(x) = 2\cos(2x)$, $f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin(2x)$, $f''(0) = -4\sin(0) = 0$ (これも0なので次の項を探す)

$f'''(x) = -8\cos(2x)$, $f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

$f''''(x) = 16\sin(2x)$, $f''''(0) = 16\sin(0) = 0$

$f'''''(x) = 32\cos(2x)$, $f'''''(0) = 32\cos(0) = 32$

よって、マクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = 2x + \frac{-8}{3!}x^3 + \frac{32}{5!}x^5 + \dots = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 + \dots$

(c) $f(x) = \cos(3x)$ の場合：

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(x) = -3\sin(3x)$, $f'(0) = -3\sin(0) = 0$ (これは0なので次の項を探す)

$f''(x) = -9\cos(3x)$, $f''(0) = -9\cos(0) = -9$

$f'''(x) = 27\sin(3x)$, $f'''(0) = 27\sin(0) = 0$ (これも0なので次の項を探す)

$f''''(x) = 81\cos(3x)$, $f''''(0) = 81\cos(0) = 81$

よって、マクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = 1 + \frac{-9}{2!}x^2 + \frac{81}{4!}x^4 + \dots = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 + \dots$

3. 最終的な答え

(a) $1 + 2x + 2x^2$

(b) $2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5$

(c) $1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$