曲線 $y = x^3 - x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求める問題です。体積 $V$ を求める式が与えられており、空欄 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O を埋める必要があります。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求める問題です。体積 $V$ を求める式が与えられており、空欄 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

$y = x^3 - x$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$x^3 - x = 0$ を解くと、 $x(x^2 - 1) = 0$ となり、$x(x-1)(x+1) = 0$ なので、 $x = -1, 0, 1$ が交点です。

$x$ 軸回転体の体積の公式は、$V = \pi \int_a^b y^2 dx$ です。

$y = x^3 - x$ なので、$y^2 = (x^3 - x)^2 = x^6 - 2x^4 + x^2$ です。

$x = -1$ から $x = 0$ までの積分と、$x = 0$ から $x = 1$ までの積分は絶対値が等しく符号が異なるため、体積は $x=0$ から $x=1$ まで積分したものの２倍を考えればよいです。$x=-1$から$x=0$の積分を考えると、$x^3-x$は正なので積分は正の体積を与える。一方、$x=0$から$x=1$まででは、$x^3-x$は負の値なので、体積の計算では絶対値をとって計算する必要があります。絶対値をとって体積を計算することを考慮すると、$x=-1$から$x=0$までと、$x=0$から$x=1$までで積分は同値になります。したがって、$x=0$から$x=1$まで積分したものの２倍を考えればよいです。

$V = \pi \int_{-1}^1 (x^3 - x)^2 dx = 2\pi \int_0^1 (x^6 - 2x^4 + x^2) dx$ となります。

与えられた式と見比べると、

$A = \pi$

$B = -1$

$C = 1$

$D = 2$

$E = \pi$

$G = 0$

$F = 1$

$H = 6$

$I = 2$

$J = 2$

$\int_0^1 (x^6 - 2x^4 + x^2) dx = [\frac{1}{7}x^7 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{15 - 42 + 35}{105} = \frac{8}{105}$

$V = 2\pi \cdot \frac{8}{105} = \frac{16}{105}\pi$

したがって、

$K = 16$

$L = 1$

$M = 1$

$N = 0$

$O = 5$

3. 最終的な答え

A: $\pi$

B: -1

C: 1

D: 2

E: $\pi$

F: 1

G: 0

H: 6

I: 2

J: 2

K: 16

L: 1

M: 1

N: 0

O: 5