曲線 $y = \sqrt{x-1}$、直線 $y = 0$、および直線 $y = 1$ で囲まれた領域を $y$ 軸の周りに回転させて得られる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x-1}$、直線 $y = 0$、および直線 $y = 1$ で囲まれた領域を $y$ 軸の周りに回転させて得られる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{x-1}$ を $x$ について解きます。

$y^2 = x - 1$

$x = y^2 + 1$

したがって、$A=y$, $B=2$, $C=1$ です。

回転体の体積は、円盤法を使って計算できます。回転軸からの距離を $x$ とすると、体積 $V$ は次の積分で与えられます。

$V = \int_a^b \pi x^2 dy$

この問題では、回転軸は $y$ 軸であり、積分区間は $y = 0$ から $y = 1$ までです。$x$ は $y^2 + 1$ であるため、体積は次のようになります。

$V = \pi \int_0^1 (y^2 + 1)^2 dy$

したがって、$D = \pi$, $E = 0$, $F = 1$, $G = y$, $H = 2$, $I = 1$ です。

積分を展開して計算します。

$V = \pi \int_0^1 (y^4 + 2y^2 + 1) dy$

$V = \pi [\frac{1}{5}y^5 + \frac{2}{3}y^3 + y]_0^1$

$V = \pi (\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1)$

$V = \pi (\frac{3}{15} + \frac{10}{15} + \frac{15}{15})$

$V = \pi (\frac{28}{15})$

したがって、$J = 28$, $K = 1$, $L = 1$, $M = 5$ です。

3. 最終的な答え

$A = y$

$B = 2$

$C = 1$

$D = \pi$

$E = 0$

$F = 1$

$G = y$

$H = 2$

$I = 1$

$J = 28$

$K = 1$

$L = 1$

$M = 5$

体積は $\frac{28}{15}\pi$ です。