関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, ...\}$ が範囲 $[-\pi, \pi]$ で正規直交関数系をなしているか調べる。

1. 問題の内容

関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, ...\}$ が範囲 $[-\pi, \pi]$ で正規直交関数系をなしているか調べる。

2. 解き方の手順

関数群が正規直交関数系をなすかどうかを調べるには、以下の2つの条件を確認する必要があります。

(1) 各関数のノルム（二乗積分）が1である（正規性）。

(2) 異なる関数の内積が0である（直交性）。

まず、正規性から確認します。

関数の内積は以下のように定義されます。

$\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(t)g(t) dt$

関数のノルムは以下のように定義されます。

$\|f\| = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \sqrt{\int_{-\pi}^{\pi} f(t)^2 dt}$

正規性の確認:

* $f_0(t) = 1$ のとき:

$\|f_0\|^2 = \int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dt = \int_{-\pi}^{\pi} dt = [t]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

$\|f_0\| = \sqrt{2\pi} \neq 1$. よって、正規化されていません。

* $f_n(t) = \cos(nt)$ ($n \ge 1$) のとき:

$\|f_n\|^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nt) dt = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos(2nt)}{2} dt = \left[\frac{t}{2} + \frac{\sin(2nt)}{4n}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2n\pi)}{4n} - \left(\frac{-\pi}{2} + \frac{\sin(-2n\pi)}{4n}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

$\|f_n\| = \sqrt{\pi} \neq 1$. よって、正規化されていません。

次に、直交性を確認します。

* $\langle 1, \cos(mt) \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mt) dt = \left[\frac{\sin(mt)}{m}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(m\pi)}{m} - \frac{\sin(-m\pi)}{m} = 0 - 0 = 0$ ($m \ge 1$)

* $\langle \cos(nt), \cos(mt) \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt)\cos(mt) dt = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} [\cos((n+m)t) + \cos((n-m)t)] dt$.

$n \neq m$ のとき:

$= \frac{1}{2} \left[\frac{\sin((n+m)t)}{n+m} + \frac{\sin((n-m)t)}{n-m}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2} [0 + 0 - (0 + 0)] = 0$.

$n = m$ のとき:

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nt) dt = \pi$ （正規性の確認で計算済み）。

直交性は満たされますが、正規化されていません。

したがって、正規直交関数系ではありません。

正規直交関数系にするには、以下のように正規化する必要があります。

$e_0(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

$e_n(t) = \frac{\cos(nt)}{\sqrt{\pi}}$ ($n \ge 1$)

3. 最終的な答え

関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, ...\}$ は範囲 $[-\pi, \pi]$ で正規直交関数系をなしていません。