与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1 - (\log 2)x}{x^2} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1 - (\log 2)x}{x^2}$$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理を適用します。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

$$\frac{d}{dx}(2^x - 1 - (\log 2)x) = 2^x \log 2 - \log 2$$

$$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1 - (\log 2)x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2^x \log 2 - \log 2}{2x}$$

再び不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

$$\frac{d}{dx}(2^x \log 2 - \log 2) = 2^x (\log 2)^2$$

$$\frac{d}{dx}(2x) = 2$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2^x \log 2 - \log 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2^x (\log 2)^2}{2}$$

$x \to 0$ のとき $2^x \to 1$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2^x (\log 2)^2}{2} = \frac{(\log 2)^2}{2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{(\log 2)^2}{2}$$