曲線 $y = \sqrt{x+2}$ と x軸、y軸で囲まれた図形の面積を求めます。積分を使って面積を計算する問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x+2}$ と x軸、y軸で囲まれた図形の面積を求めます。積分を使って面積を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を決定します。$y = \sqrt{x+2}$ と x軸との交点は $y=0$ となる点なので、$\sqrt{x+2} = 0$ を解くと $x = -2$ です。したがって、x軸との交点は $(-2, 0)$ となります。y軸との交点は $x=0$ となる点なので、$y = \sqrt{0+2} = \sqrt{2}$ です。したがって、y軸との交点は $(0, \sqrt{2})$ となります。

求める面積は、積分範囲が $x = -2$ から $x = 0$ の範囲で、関数 $y = \sqrt{x+2}$ の積分によって与えられます。

$S = \int_{-2}^{0} \sqrt{x+2} \, dx$

ここで、置換積分を行います。$u = x + 2$ とおくと、$du = dx$ となります。積分範囲も変更します。

$x = -2$ のとき $u = -2 + 2 = 0$

$x = 0$ のとき $u = 0 + 2 = 2$

したがって、積分は

$S = \int_{0}^{2} \sqrt{u} \, du = \int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} \, du$

この積分を計算します。

$S = \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (2 \sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

A: -2

B: 0

C: 2

D: 3

E: u

F: 2

G: 0

H: 0

I: 2

J: 4

K: 2

L: 3

最終的な答え: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$