与えられた極限を求める問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x+1}}{x^3} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を求める問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x+1}}{x^3}

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2. 解き方の手順

まず、$e^x$ と $\sqrt{x+1}$ をマクローリン展開します。

$e^x$ のマクローリン展開は、

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e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)

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となります。

$\sqrt{x+1}$ のマクローリン展開は、

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\sqrt{x+1} = (1+x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + O(x^4)

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となります。

したがって、$x\sqrt{x+1}$ は、

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x\sqrt{x+1} = x(1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + O(x^4)) = x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^3 + \frac{1}{16}x^4 + O(x^5)

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となります。

これらの展開を元の式に代入すると、

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\frac{e^x - 1 - x\sqrt{x+1}}{x^3} = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)) - 1 - (x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^3 + \frac{1}{16}x^4 + O(x^5))}{x^3}

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= \frac{\frac{x^3}{6} + \frac{1}{8}x^3 + O(x^4)}{x^3} = \frac{x^3(\frac{1}{6} + \frac{1}{8}) + O(x^4)}{x^3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + O(x)

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= \frac{4+3}{24} + O(x) = \frac{7}{24} + O(x)

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$x \to 0$ の極限を取ると、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x+1}}{x^3} = \frac{7}{24}

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3. 最終的な答え

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\frac{7}{24}

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