曲線 $y=x^3-4x$ とx軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。$y=0$ となる $x$ の値を求め、定積分を計算することで面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y=x^3-4x$ とx軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。$y=0$ となる $x$ の値を求め、定積分を計算することで面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^3-4x$ と $y=0$ の交点を求めます。

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x-2)(x+2) = 0$

したがって、$x = -2, 0, 2$ です。

次に、積分を計算します。$y = x^3-4x$ のグラフは、$x=-2$ と $x=0$ の間でx軸より下側にあり、$x=0$ と $x=2$ の間でx軸より下側にあるため、面積を求めるためには絶対値を取る必要があります。

ここでは $-2 \le x \le 0$ の範囲における定積分を計算し、その結果を-2倍することで面積を求めます。

$\int (x^3-4x) dx = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + C$

よって、

$S = -2 \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx$

$S = -2 \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 \right]_{-2}^{0}$

$S = -2 \left[ \left( \frac{1}{4}(0)^4 - 2(0)^2 \right) - \left( \frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2 \right) \right]$

$S = -2 \left[ 0 - \left( \frac{1}{4}(16) - 2(4) \right) \right]$

$S = -2 \left[ 0 - (4 - 8) \right]$

$S = -2 [ 0 - (-4) ]$

$S = -2 (4)$

$S = -8$

面積は負の値にならないため、絶対値を取ります。あるいは、積分区間を0から-2にすることで負号を解消します。

$S = -2[\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]^0_{-2}$

$S = -2[(0)-(\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2)] = -2[0-(4-8)] = -2[-(-4)] = -8$

しかし、曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めるので、面積は正の値になる必要があります。したがって、正しい積分は $S=-2 \int_{-2}^0 (x^3-4x) dx$ になります。

計算結果から、$S = -2(\frac{1}{4}x^4-2x^2)|_{-2}^{0} = -2[(0) - (\frac{1}{4}(-2)^4-2(-2)^2)] = -2[0 - (4-8)] = -2(4-8) = -2(-4) = 8$.

$x=0$から$x=2$までの積分は

$\int_0^2 (x^3-4x) dx = [\frac{1}{4}x^4-2x^2]^2_0 = (\frac{1}{4}(2)^4-2(2)^2)-0 = (4-8)-0 = -4$

よって，面積は8。

A: 2

B: 0

C: -2

D: 0

E: 4

F: 4

G: 1

H: -2

I: 2

J: 8

3. 最終的な答え

A: 2

B: 0

C: -2

D: 0

E: 4

F: 4

G: 1

H: -2

I: 2

J: 8