与えられた3つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to -0} \frac{x^2 + 3x}{|x|}$ (3) $\lim_{x \to 4-0} \frac{x}{x-4}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to -0} \frac{x^2 + 3x}{|x|}$

(3) $\lim_{x \to 4-0} \frac{x}{x-4}$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 1+0$ は、$x$ が $1$ より大きい側から $1$ に近づくことを意味します。したがって、$x > 1$ であり、$x-1 > 0$ となります。これにより、$|x-1| = x-1$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} 1 = 1$

(2)

$x \to -0$ は、$x$ が $0$ より小さい側から $0$ に近づくことを意味します。したがって、$x < 0$ であり、$|x| = -x$ となります。したがって、

$\lim_{x \to -0} \frac{x^2 + 3x}{|x|} = \lim_{x \to -0} \frac{x(x+3)}{-x} = \lim_{x \to -0} -(x+3) = -(0+3) = -3$

(3)

$x \to 4-0$ は、$x$ が $4$ より小さい側から $4$ に近づくことを意味します。したがって、$x < 4$ であり、$x-4 < 0$ となります。$x$ は $4$ に近づくので、分子は $4$ に近づき、分母は $0$ に近づきます。

$\lim_{x \to 4-0} \frac{x}{x-4}$

$x-4 < 0$ なので、$x-4$ は負の数として $0$ に近づきます。したがって、$\frac{x}{x-4}$ は負の無限大に発散します。

$\lim_{x \to 4-0} \frac{x}{x-4} = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -3

(3) $-\infty$