以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1-x^2}}{x^2}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1-x^2}}{x^2}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1-x^2) - 1}{x^2(1-x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x^2 \cos x - 1}{x^2(1-x^2)}$

次に、分子を整理します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1) - x^2 \cos x}{x^2(1-x^2)}$

ここで、$\cos x$ のマクローリン展開 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ を用います。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots - 1) - x^2 (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots)}{x^2(1-x^2)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{24} + \cdots}{x^2(1-x^2)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{3}{2}x^2 + \frac{13}{24}x^4 - \cdots}{x^2(1-x^2)}$

$x^2$ で割ると、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{3}{2} + \frac{13}{24}x^2 - \cdots}{1-x^2}$

ここで $x \to 0$ とすると、

$\frac{-\frac{3}{2}}{1} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}$