次の5つの関数を微分してください。 (1) $e^{x^4}$ (2) $e^{x^2\cos x}$ (3) $\log |\log x|$ (4) $(\log(x^2+x+1))^3$ (5) $x^{\cos x} \quad (x>0)$

はい、承知いたしました。与えられた関数を微分します。

1. 問題の内容

次の5つの関数を微分してください。

(1) $e^{x^4}$

(2) $e^{x^2\cos x}$

(3) $\log |\log x|$

(4) $(\log(x^2+x+1))^3$

(5) $x^{\cos x} \quad (x>0)$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{x^4}$

合成関数の微分を行います。$u = x^4$とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 4x^3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 4x^3 = 4x^3e^{x^4}$

(2) $y = e^{x^2\cos x}$

合成関数の微分を行います。$u = x^2\cos x$とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = (x^2)'\cos x + x^2 (\cos x)' = 2x\cos x - x^2\sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u (2x\cos x - x^2\sin x) = (2x\cos x - x^2\sin x)e^{x^2\cos x}$

(3) $y = \log |\log x|$

合成関数の微分を行います。$u = \log x$とおくと、$y = \log |u|$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\log x}$

(4) $y = (\log(x^2+x+1))^3$

合成関数の微分を行います。$u = \log(x^2+x+1)$とおくと、$y = u^3$。$v = x^2 + x + 1$とおくと、$u = \log v$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dv} \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = 2x+1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{1}{v} \cdot (2x+1) = 3(\log(x^2+x+1))^2 \cdot \frac{1}{x^2+x+1} \cdot (2x+1) = \frac{3(2x+1)(\log(x^2+x+1))^2}{x^2+x+1}$

(5) $y = x^{\cos x}$

両辺の対数をとると、$\log y = \cos x \log x$。

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x)'\log x + \cos x (\log x)' = -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right) = x^{\cos x} \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 4x^3e^{x^4}$

(2) $\frac{dy}{dx} = (2x\cos x - x^2\sin x)e^{x^2\cos x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\log x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1)(\log(x^2+x+1))^2}{x^2+x+1}$

(5) $\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right)$