数列$\{a_n\}$について、$\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めます。 (1) $a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ (2) $a_n = \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\dots(2n)}}{n}$

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$について、$\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めます。

(1) $a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$

(2) $a_n = \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\dots(2n)}}{n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ をリーマン和の形に変形します。

$a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(1+\frac{k}{n})} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$

これは $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx$ のリーマン和に対応するので、

$\lim_{n\to\infty} a_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = [\ln(1+x)]_0^1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2$

(2) $a_n = \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\dots(2n)}}{n}$ について、対数をとって考えます。

$\ln a_n = \ln \left( \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\dots(2n)}}{n} \right) = \frac{1}{n} \ln \left( \frac{(n+1)(n+2)\dots(2n)}{n^n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left(\frac{n+k}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$

これは $\int_0^1 \ln(1+x) dx$ のリーマン和に対応するので、

$\lim_{n\to\infty} \ln a_n = \int_0^1 \ln(1+x) dx$

部分積分を用いて計算します。$u = \ln(1+x), dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x} dx, v = x$

$\int_0^1 \ln(1+x) dx = [x\ln(1+x)]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x} dx = \ln 2 - \int_0^1 \frac{1+x-1}{1+x} dx = \ln 2 - \int_0^1 (1-\frac{1}{1+x}) dx = \ln 2 - [x - \ln(1+x)]_0^1 = \ln 2 - (1 - \ln 2) = 2\ln 2 - 1 = \ln 4 - 1 = \ln 4 - \ln e = \ln \frac{4}{e}$

したがって、$\lim_{n\to\infty} \ln a_n = \ln \frac{4}{e}$ より、$\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{4}{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\ln 2$

(2) $\frac{4}{e}$