以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x+1}}{x^3}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x+1}}{x^3}$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、テイラー展開を利用します。

$e^x$、$\sqrt{x+1}$を$x=0$の周りでテイラー展開します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4)$

$\sqrt{x+1} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + O(x^4)$

$x\sqrt{x+1} = x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^3 + \frac{1}{16}x^4 + O(x^5)$

したがって、

$e^x - 1 - x\sqrt{x+1} = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)) - 1 - (x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^3 + O(x^4)) = \frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{8} + O(x^4) = \frac{7}{24}x^3 + O(x^4)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x+1}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{24}x^3 + O(x^4)}{x^3} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{24}$