関数 $f(x) = -\sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 4x + 4}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(1)$ を求めます。 (2) $0 \le x \le 2$ のとき、関数 $f(x)$ の式を簡単にし、 $f(x) \le x-2$ を解きます。 (3) $|x| \le 5$ のとき、関数 $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M+m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 4x + 4}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(1)$ を求めます。

(2) $0 \le x \le 2$ のとき、関数 $f(x)$ の式を簡単にし、 $f(x) \le x-2$ を解きます。

(3) $|x| \le 5$ のとき、関数 $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M+m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ を求める。

$f(x) = -\sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -\sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x-2)^2} = -|x+2| + |x-2|$

$f(1) = -|1+2| + |1-2| = -|3| + |-1| = -3 + 1 = -2$

(2) $0 \le x \le 2$ のとき、$f(x)$ を簡単にする。

$f(x) = -|x+2| + |x-2|$

$0 \le x \le 2$ のとき、$x+2 \ge 0$ より $|x+2| = x+2$

$x-2 \le 0$ より $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$f(x) = -(x+2) + (-x+2) = -x-2-x+2 = -2x$

次に、$f(x) \le x-2$ を解く。

$-2x \le x-2$

$-3x \le -2$

$3x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{3}$

$0 \le x \le 2$ の範囲で考えると、$\frac{2}{3} \le x \le 2$

(3) $|x| \le 5$ のとき、$f(x) = -|x+2| + |x-2|$ の最大値 $M$, 最小値 $m$ を求め、$M+m$ を求める。

$-5 \le x \le 5$

$f'(x)$ を考えるために場合分けを行う。

(i) $-5 \le x \le -2$ のとき

$x+2 \le 0, x-2 \le 0$ より

$f(x) = -( -(x+2) ) + -(x-2) = x+2 -x+2 = 4$

(ii) $-2 < x < 2$ のとき

$x+2 > 0, x-2 < 0$ より

$f(x) = -(x+2) + -(x-2) = -x-2 -x+2 = -2x$

(iii) $2 \le x \le 5$ のとき

$x+2 > 0, x-2 \ge 0$ より

$f(x) = -(x+2) + (x-2) = -x-2 +x-2 = -4$

$f(x)$ は区分的に定義された関数である。

$f(x) = \begin{cases} 4 & (-5 \le x \le -2) \\ -2x & (-2 < x < 2) \\ -4 & (2 \le x \le 5) \end{cases}$

$M = \max f(x) = 4$

$m = \min f(x) = -4$

$M+m = 4 + (-4) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = -2$

(2) $f(x) = -2x$, $\frac{2}{3} \le x \le 2$

(3) $M+m = 0$