問題1：関数 $f(x) = \sin x$ の $x = \pi$ でのテイラー展開を求める。 問題2：関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を $x = -1$ の近くにおいてテイラー展開を求める。

1. 問題の内容

問題1：関数 $f(x) = \sin x$ の $x = \pi$ でのテイラー展開を求める。

問題2：関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を $x = -1$ の近くにおいてテイラー展開を求める。

2. 解き方の手順

**問題1：**

テイラー展開の公式は、関数 $f(x)$ を $x=a$ の周りで展開すると次のようになります。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$

与えられた関数は $f(x) = \sin x$ であり、$a = \pi$ です。 導関数を計算します。

$f(x) = \sin x$

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

$f'''(x) = -\cos x$

$f''''(x) = \sin x$

$x=\pi$ での値を計算します。

$f(\pi) = \sin \pi = 0$

$f'(\pi) = \cos \pi = -1$

$f''(\pi) = -\sin \pi = 0$

$f'''(\pi) = -\cos \pi = 1$

$f''''(\pi) = \sin \pi = 0$

これらの値をテイラー展開の公式に代入します。

$f(x) = 0 + (-1)(x-\pi) + \frac{0}{2!}(x-\pi)^2 + \frac{1}{3!}(x-\pi)^3 + \frac{0}{4!}(x-\pi)^4 + \frac{-1}{5!}(x-\pi)^5 + ...$

$f(x) = -(x-\pi) + \frac{1}{3!}(x-\pi)^3 - \frac{1}{5!}(x-\pi)^5 + ...$

**問題2：**

与えられた関数は $f(x) = \frac{1}{1-x}$ であり、$a = -1$ の周りでテイラー展開します。

$f(x) = \frac{1}{1-x}$

$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$

$f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3}$

$f'''(x) = \frac{6}{(1-x)^4}$

$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

$x=-1$ での値を計算します。

$f(-1) = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$

$f'(-1) = \frac{1}{(1-(-1))^2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$

$f''(-1) = \frac{2}{(1-(-1))^3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = \frac{2!}{2^3}$

$f'''(-1) = \frac{6}{(1-(-1))^4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = \frac{3!}{2^4}$

$f^{(n)}(-1) = \frac{n!}{(1-(-1))^{n+1}} = \frac{n!}{2^{n+1}}$

テイラー展開の公式に代入します。

$f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2}(x+1) + \frac{2!/2^3}{2!}(x+1)^2 + \frac{3!/2^4}{3!}(x+1)^3 + ... + \frac{n!/2^{n+1}}{n!}(x+1)^n + ...$

$f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2}(x+1) + \frac{1}{2^3}(x+1)^2 + \frac{1}{2^4}(x+1)^3 + ... + \frac{1}{2^{n+1}}(x+1)^n + ...$

3. 最終的な答え

問題1の答え：4

問題2の答え：2