問題6.2：与えられた関数 $f(x)$ に対して、$f(3x)$, $f'(x)$, $f'(3x)$, $(f(3x))'$, $f(x^2)$, $f(-x)$, $\int f(x)dx$ を求める。ただし、式(6.8)と定理6.2を用いてよい。 (1) $f(x) = -2$ (2) $f(x) = (x+2)^2$ (3) $f(x) = (x-1)^3$ 問題6.3：与えられた関数$f(x)$を微分せよ。ただし、式(6.8)と定理6.2を用いてよい。 (1) $f(x) = 5$ (2) $f(x) = 5x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x$ (3) $f(x) = (x+5)(x-7)$ (4) $f(x) = (x-2)^3$

## 問題Aの解答（講義用）

1. **問題の内容**

問題6.2：与えられた関数 $f(x)$ に対して、$f(3x)$, $f'(x)$, $f'(3x)$, $(f(3x))'$, $f(x^2)$, $f(-x)$, $\int f(x)dx$ を求める。ただし、式(6.8)と定理6.2を用いてよい。

(1) $f(x) = -2$

(2) $f(x) = (x+2)^2$

(3) $f(x) = (x-1)^3$

問題6.3：与えられた関数$f(x)$を微分せよ。ただし、式(6.8)と定理6.2を用いてよい。

(1) $f(x) = 5$

(2) $f(x) = 5x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x$

(3) $f(x) = (x+5)(x-7)$

(4) $f(x) = (x-2)^3$

2. **解き方の手順**

**問題6.2 (1) $f(x) = -2$ の場合**

* $f(3x) = -2$

* $f'(x) = 0$

* $f'(3x) = 0$

* $(f(3x))' = 0$

* $f(x^2) = -2$

* $f(-x) = -2$

* $\int f(x) dx = \int -2 dx = -2x + C$ (Cは積分定数)

**問題6.2 (2) $f(x) = (x+2)^2$ の場合**

* $f(3x) = (3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$

* $f'(x) = 2(x+2) = 2x + 4$

* $f'(3x) = 2(3x+2) = 6x + 4$

* $(f(3x))' = (9x^2 + 12x + 4)' = 18x + 12$

* $f(x^2) = (x^2+2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$

* $f(-x) = (-x+2)^2 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

* $\int f(x) dx = \int (x+2)^2 dx = \int (x^2 + 4x + 4) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$ (Cは積分定数)

**問題6.2 (3) $f(x) = (x-1)^3$ の場合**

* $f(3x) = (3x-1)^3 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$

* $f'(x) = 3(x-1)^2 = 3(x^2-2x+1) = 3x^2 - 6x + 3$

* $f'(3x) = 3(3x-1)^2 = 3(9x^2-6x+1) = 27x^2 - 18x + 3$

* $(f(3x))' = (27x^3 - 27x^2 + 9x - 1)' = 81x^2 - 54x + 9$

* $f(x^2) = (x^2-1)^3 = (x^2-1)(x^4 - 2x^2 + 1) = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1$

* $f(-x) = (-x-1)^3 = -(x+1)^3 = -(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = -x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

* $\int f(x) dx = \int (x-1)^3 dx = \int (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C$ (Cは積分定数)

**問題6.3 (1) $f(x) = 5$ の場合**

* $f'(x) = 0$

**問題6.3 (2) $f(x) = 5x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x$ の場合**

* $f'(x) = 25x^4 + 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1$

**問題6.3 (3) $f(x) = (x+5)(x-7)$ の場合**

* $f(x) = x^2 - 2x - 35$

* $f'(x) = 2x - 2$

**問題6.3 (4) $f(x) = (x-2)^3$ の場合**

* $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

* $f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x-2)^2$

3. **最終的な答え**

**問題6.2**

(1) $f(3x) = -2$, $f'(x) = 0$, $f'(3x) = 0$, $(f(3x))' = 0$, $f(x^2) = -2$, $f(-x) = -2$, $\int f(x) dx = -2x + C$

(2) $f(3x) = 9x^2 + 12x + 4$, $f'(x) = 2x + 4$, $f'(3x) = 6x + 4$, $(f(3x))' = 18x + 12$, $f(x^2) = x^4 + 4x^2 + 4$, $f(-x) = x^2 - 4x + 4$, $\int f(x) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$

(3) $f(3x) = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$, $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3$, $f'(3x) = 27x^2 - 18x + 3$, $(f(3x))' = 81x^2 - 54x + 9$, $f(x^2) = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1$, $f(-x) = -x^3 - 3x^2 - 3x - 1$, $\int f(x) dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C$

**問題6.3**

(1) $f'(x) = 0$

(2) $f'(x) = 25x^4 + 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1$

(3) $f'(x) = 2x - 2$

(4) $f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x-2)^2$