(1) $S_n = \sum_{k=1}^n k(\frac{1}{3})^k$ とおくとき、$\lim_{n\to\infty} S_n$ を求めよ。 (2) 最初に $n$ 回を限度として2以下の目が出るまでサイコロを投げ、次にサイコロを投げた回数だけコインを投げる。ただし、サイコロを $n$ 回投げて $n$ 回とも3以上の目が出たときには、コインを $n$ 回投げる。コインの表がちょうど1回出る確率を $P_n$ とするとき、$\lim_{n\to\infty} P_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $S_n = \sum_{k=1}^n k(\frac{1}{3})^k$ とおくとき、$\lim_{n\to\infty} S_n$ を求めよ。

(2) 最初に $n$ 回を限度として2以下の目が出るまでサイコロを投げ、次にサイコロを投げた回数だけコインを投げる。ただし、サイコロを $n$ 回投げて $n$ 回とも3以上の目が出たときには、コインを $n$ 回投げる。コインの表がちょうど1回出る確率を $P_n$ とするとき、$\lim_{n\to\infty} P_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n\to\infty} S_n$ を求める。

まず、$S_n$ を計算する。

$S_n = \sum_{k=1}^n k(\frac{1}{3})^k = 1(\frac{1}{3})^1 + 2(\frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{3})^3 + \dots + n(\frac{1}{3})^n$

$\frac{1}{3}S_n = \sum_{k=1}^n k(\frac{1}{3})^{k+1} = 1(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3})^3 + 3(\frac{1}{3})^4 + \dots + n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$S_n - \frac{1}{3}S_n = \frac{2}{3}S_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^n} - n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$\frac{2}{3}S_n = \sum_{k=1}^n (\frac{1}{3})^k - n(\frac{1}{3})^{n+1}$

等比数列の和の公式より、$\sum_{k=1}^n (\frac{1}{3})^k = \frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^n)$

$\frac{2}{3}S_n = \frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^n) - n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$S_n = \frac{3}{4}(1-(\frac{1}{3})^n) - \frac{3}{2}n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$S_n = \frac{3}{4}(1-(\frac{1}{3})^n) - \frac{1}{2}n(\frac{1}{3})^n$

$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} [\frac{3}{4}(1-(\frac{1}{3})^n) - \frac{1}{2}n(\frac{1}{3})^n]$

$\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{3})^n = 0$ かつ $\lim_{n\to\infty} n(\frac{1}{3})^n = 0$ より、

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{3}{4}(1-0) - \frac{1}{2}(0) = \frac{3}{4}$

(2) $P_n$ を求める。

サイコロを振って2以下の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

サイコロを振って3以上の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。

$k$ 回目で初めて2以下の目が出る確率は $(\frac{2}{3})^{k-1} \frac{1}{3}$ である。

$n$ 回サイコロを投げてコインを $k$ 回投げる場合、$k$ 回コインを投げて表が1回出る確率は ${}_k C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{k-1} = k(\frac{1}{2})^k$ である。

$P_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{2}{3})^{k-1} \frac{1}{3} k (\frac{1}{2})^k + (\frac{2}{3})^n n(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n k(\frac{1}{3})^k (\frac{2}{3})^{-1}(\frac{1}{2})^k+(\frac{2}{3})^n n(\frac{1}{2})^n$

$P_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k (\frac{1}{3})^k + n (\frac{1}{3})^n$

$\lim_{n\to\infty} P_n = \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n k (\frac{1}{3})^k = \frac{1}{2} (\frac{3}{4}) = \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{3}{4}$

(2) $\lim_{n\to\infty} P_n = \frac{3}{8}$