与えられた4つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to \infty} \log_3 \frac{1}{x}$ (2) $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$ (3) $\lim_{x \to \infty} \log_3 (\frac{2}{x} + 3)$ (4) $\lim_{x \to 2+0} \{\log_2 (x^2-4) - \log_2 (x-2)\}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to \infty} \log_3 \frac{1}{x}$

(2) $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$

(3) $\lim_{x \to \infty} \log_3 (\frac{2}{x} + 3)$

(4) $\lim_{x \to 2+0} \{\log_2 (x^2-4) - \log_2 (x-2)\}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$。したがって、$\log_3 \frac{1}{x} \to \log_3 0$。$\log_3 x$ は $x \to 0$ で $-\infty$ に発散するので、

$\lim_{x \to \infty} \log_3 \frac{1}{x} = -\infty$

(2) $x \to +0$ のとき、$\log_{\frac{1}{3}} x \to \infty$。なぜなら、$y = \log_{\frac{1}{3}} x$ は $x$ が増加すると減少する関数であり、$x$ が 0 に近づくほど $y$ は $\infty$ に発散するから。

$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x = \infty$

(3) $x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$。したがって、$\frac{2}{x} + 3 \to 3$。

$\lim_{x \to \infty} \log_3 (\frac{2}{x} + 3) = \log_3 3 = 1$

(4) $\lim_{x \to 2+0} \{\log_2 (x^2-4) - \log_2 (x-2)\} = \lim_{x \to 2+0} \log_2 \frac{x^2-4}{x-2}$

ここで、$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ なので、

$\log_2 \frac{x^2-4}{x-2} = \log_2 \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \log_2 (x+2)$

したがって、

$\lim_{x \to 2+0} \log_2 (x+2) = \log_2 (2+2) = \log_2 4 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $-\infty$

(2) $\infty$

(3) $1$

(4) $2$