関数 $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$ のグラフについて、関数 $y = \sin(3x)$ のグラフをどのように平行移動したか、周期のうち正で最小のものは何か、また、 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で不等式 $\sin(3x - \frac{\pi}{4}) \ge \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$ のグラフについて、関数 $y = \sin(3x)$ のグラフをどのように平行移動したか、周期のうち正で最小のものは何か、また、 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で不等式 $\sin(3x - \frac{\pi}{4}) \ge \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動について

$y = \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \sin(3(x - \frac{\pi}{12}))$ と変形できます。

これは $y = \sin(3x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi}{12}$ だけ平行移動したものです。

したがって、アは $\frac{\pi}{12}$ です。

(2) 周期について

$y = \sin(3x)$ の周期は $\frac{2\pi}{3}$ です。平行移動しても周期は変わりません。

したがって、イは $\frac{2\pi}{3}$ です。

(3) 不等式 $\sin(3x - \frac{\pi}{4}) \ge \frac{1}{2}$ について

$3x - \frac{\pi}{4} = \theta$ とおくと、$\sin(\theta) \ge \frac{1}{2}$ となります。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、

$3(0) - \frac{\pi}{4} \le 3x - \frac{\pi}{4} \le 3(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$

$\sin(\theta) \ge \frac{1}{2}$ となるのは、$\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$ のときです。

したがって、

$\frac{\pi}{6} \le 3x - \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \le 3x \le \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{2\pi + 3\pi}{12} \le 3x \le \frac{10\pi + 3\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12} \le 3x \le \frac{13\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{36} \le x \le \frac{13\pi}{36}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{\pi}{12}$

イ: $\frac{2\pi}{3}$

ウ: $\frac{5\pi}{36} \le x \le \frac{13\pi}{36}$