与えられた3次関数 $y = \frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + 2x$ のグラフの概形を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次関数 $y = \frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + 2x$ のグラフの概形を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 与えられた関数を微分して、増減表を作成するために導関数を求めます。

$y' = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 2$

2. 導関数が0になる$x$の値を求めます。判別式を用いて、$y' = 0$ となる実数解の有無を確認します。

$D = (\frac{-4}{3})^2 - 4(\frac{1}{3})(2) = \frac{16}{9} - \frac{8}{3} = \frac{16 - 24}{9} = \frac{-8}{9} < 0$

判別式が負であるため、$y' = 0$となる実数解は存在しません。

3. 導関数の符号を確認します。$x$の二次関数の係数が正であるため、常に $y' > 0$です。したがって、関数は常に増加します。

4. グラフの概形を把握します。関数は常に増加し、極値を持たない3次関数です。

3. 最終的な答え

グラフの概形：常に増加する3次関数で、極値は存在しない。