与えられた関数 $y = (\arctan x)^{\log x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (\arctan x)^{\log x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = (\arctan x)^{\log x}$ の導関数を求めるために、両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log((\arctan x)^{\log x}) = \log x \cdot \log(\arctan x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律を用いて微分し、右辺は積の微分法を用います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \log(\arctan x) + \log x \cdot \frac{1}{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = y \left(\frac{\log(\arctan x)}{x} + \frac{\log x}{\arctan x (1+x^2)} \right)$

$y = (\arctan x)^{\log x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (\arctan x)^{\log x} \left(\frac{\log(\arctan x)}{x} + \frac{\log x}{\arctan x (1+x^2)} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\arctan x)^{\log x} \left(\frac{\log(\arctan x)}{x} + \frac{\log x}{(1+x^2)\arctan x} \right)$