関数 $y = x - 2\sin x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) の増減を調べる問題。導関数を計算し、増減表を作成して関数の増減を議論する。

1. 問題の内容

関数 $y = x - 2\sin x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) の増減を調べる問題。導関数を計算し、増減表を作成して関数の増減を議論する。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y = x - 2\sin x$ を微分して導関数 $y'$ を求める。

$y' = 1 - 2\cos x$

(2) 次に、導関数 $y' = 0$ となる $x$ の値を求める。これは $1 - 2\cos x = 0$ を解くことに相当する。

$2\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で $\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。

(3) $x = \frac{\pi}{3}$ と $x = \frac{5\pi}{3}$ を境界として、$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で $y'$ の符号を調べる。

* $0 < x < \frac{\pi}{3}$ のとき、$0 < x < \frac{\pi}{3}$ を満たす $x$ として $x = \frac{\pi}{6}$ を考えると、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$ なので $y' = 1 - 2\cos x < 0$ となる。

* $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$ のとき、$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$ を満たす $x$ として $x = \pi$ を考えると、$\cos \pi = -1 < \frac{1}{2}$ なので $y' = 1 - 2\cos x > 0$ となる。

* $\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$ のとき、$\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$ を満たす $x$ として $x = \frac{11\pi}{6}$ を考えると、$\cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$ なので $y' = 1 - 2\cos x < 0$ となる。

(4) 増減表を作成する。

| x | 0 | | $\frac{\pi}{3}$ | | $\frac{5\pi}{3}$ | | $2\pi$ |

| :------- | :---- | :---- | :--------------- | :---- | :---------------- | :---- | :----- |

| $y'$ | | - | 0 | + | 0 | - | |

| $y$ | | ↓ | | ↑ | | ↓ | |

3. 最終的な答え

増減表に基づき、関数 $y = x - 2\sin x$ は、$0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ で減少し、$\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{5\pi}{3}$ で増加し、$\frac{5\pi}{3} \le x \le 2\pi$ で減少する。