$\lim_{x \to +0} (\frac{1}{x})^{\sin x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} (\frac{1}{x})^{\sin x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、この極限は $\infty^0$ の不定形であるため、両辺の自然対数を取って計算します。

$y = (\frac{1}{x})^{\sin x}$ とおくと、

$\ln y = \ln \left( (\frac{1}{x})^{\sin x} \right) = \sin x \ln (\frac{1}{x}) = -\sin x \ln x$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \ln y = \lim_{x \to +0} -\sin x \ln x$

$\lim_{x \to +0} -\sin x \ln x = - \lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}$

ここで、ロピタルの定理を使うために、$\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}$の形を確認します。

$x \to +0$ のとき、$\ln x \to -\infty$であり、$\frac{1}{\sin x} \to \infty$であるので、不定形 $\frac{-\infty}{\infty}$ の形です。

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to +0} \frac{-\sin^2 x}{x \cos x} = - \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = - \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to +0} \tan x$

$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} = 1$であり、$\lim_{x \to +0} \tan x = 0$なので、

$\lim_{x \to +0} \ln y = - (1 \cdot 0) = 0$

したがって、

$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

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