次の極限を計算します。ただし、$a>0$とします。 $$\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1)$$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。ただし、$a>0$とします。

$$\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1)$$

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{1}{x}$とおきます。すると、$x \to \infty$のとき、$t \to 0$となります。

よって、

$$\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1) = \lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t}$$

ここで、$a^t = e^{\ln(a^t)} = e^{t\ln(a)}$と書き換えます。

$$\lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{t\ln(a)} - 1}{t}$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$という極限の公式を利用します。

$y = t\ln(a)$とおくと、$t \to 0$のとき、$y \to 0$となります。したがって、

$$\lim_{t \to 0} \frac{e^{t\ln(a)} - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{t\ln(a)} - 1}{t\ln(a)} \cdot \ln(a) = \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} \cdot \ln(a) = 1 \cdot \ln(a) = \ln(a)$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1) = \ln(a)$$