与えられた積分 $\int (2e^x - 1)^2 e^x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int (2e^x - 1)^2 e^x dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(2e^x - 1)^2$を展開します。

$(2e^x - 1)^2 = (2e^x)^2 - 2(2e^x)(1) + 1^2 = 4e^{2x} - 4e^x + 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (4e^{2x} - 4e^x + 1) e^x dx$

これを展開すると次のようになります。

$\int (4e^{3x} - 4e^{2x} + e^x) dx$

それぞれの項を積分します。

$\int 4e^{3x} dx = \frac{4}{3}e^{3x} + C_1$

$\int -4e^{2x} dx = -2e^{2x} + C_2$

$\int e^x dx = e^x + C_3$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (4e^{3x} - 4e^{2x} + e^x) dx = \frac{4}{3}e^{3x} - 2e^{2x} + e^x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}e^{3x} - 2e^{2x} + e^x + C$