関数 $y = x - 2\sin x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x - 2\sin x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数を求める。

$y' = 1 - 2\cos x$

(2) 次に、導関数が0となる $x$ の値を求める。

$y' = 0$ となるのは、

$1 - 2\cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{3}$ と $x = \frac{5\pi}{3}$ である。

(3) 増減表を作成する。

増減表は以下のようになる。

| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\cdots$ | $\frac{5\pi}{3}$ | $\cdots$ | $2\pi$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | |

| $y$ | | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | |

$0 < x < \frac{\pi}{3}$ において、例えば $x = \frac{\pi}{4}$ のとき $y' = 1 - 2\cos \frac{\pi}{4} = 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} < 0$

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$ において、例えば $x = \pi$ のとき $y' = 1 - 2\cos \pi = 1 - 2(-1) = 3 > 0$

$\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$ において、例えば $x = \frac{3\pi}{2}$ のとき $y' = 1 - 2\cos \frac{3\pi}{2} = 1 - 2(0) = 1 > 0$ は誤り。例えば、$x = \frac{11\pi}{6}$とすると、$y'=1 - 2\cos\frac{11\pi}{6}=1 - 2\frac{\sqrt{3}}{2} = 1-\sqrt{3} < 0$

(4) 各 $x$ の値における $y$ の値を計算する。

$x = 0$ のとき $y = 0 - 2\sin 0 = 0$

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{3} - 2\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}$

$x = \frac{5\pi}{3}$ のとき $y = \frac{5\pi}{3} - 2\sin \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} - 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$

$x = 2\pi$ のとき $y = 2\pi - 2\sin 2\pi = 2\pi - 0 = 2\pi$

(5) 最大値と最小値を比較する。

$0, \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}, \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}, 2\pi$ の大小を比較する。

$\frac{\pi}{3} \approx 1.05$ なので、$\frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \approx 1.05 - 1.73 = -0.68 < 0$

$\frac{5\pi}{3} \approx 5.24$ なので、$\frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 5.24 + 1.73 = 6.97$

$2\pi \approx 6.28$

したがって、最小値は $\frac{\pi}{3} - \sqrt{3}$ であり、最大値は $\frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$

最小値: $\frac{\pi}{3} - \sqrt{3}$