与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$ (2) $\int \frac{1}{\tan x} dx$ (3) $\int \frac{e^x}{e^x - 1} dx$ (4) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$

(2) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

(3) $\int \frac{e^x}{e^x - 1} dx$

(4) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$

$u = x^2 - 1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。よって、$\frac{1}{2} du = x dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log |u| + C = \frac{1}{2} \log |x^2 - 1| + C$

(2) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

$\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ であるため、

$\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\sin x| + C$

(3) $\int \frac{e^x}{e^x - 1} dx$

$u = e^x - 1$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |e^x - 1| + C$

(4) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\log x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \log |x^2 - 1| + C$

(2) $\log |\sin x| + C$

(3) $\log |e^x - 1| + C$

(4) $\log |\log x| + C$