関数 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ のマクローリン展開を2次の項まで求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ のマクローリン展開を2次の項まで求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したものです。一般に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

今回は2次の項までなので、$x^2$の項まで計算します。

まず、$f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ とします。

1. $f(0)$ を計算します。

$f(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

2. $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

3. $f'(0)$ を計算します。

$f'(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$

4. $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

5. $f''(0)$ を計算します。

$f''(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

6. マクローリン展開に代入します。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + ...$

$f(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{1}{2}x^2 + ...$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + ...$

3. 最終的な答え

$y = 1 + \frac{x^2}{2}$