与えられた４つの不定積分を計算します。 (1) $\int (x^2+5x+1)^3(2x+5) \, dx$ (2) $\int \cos^5 x \sin x \, dx$ (3) $\int x e^{x^2} \, dx$ (4) $\int (2e^x-1)^2 e^x \, dx$

はい、承知いたしました。

次の不定積分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた４つの不定積分を計算します。

(1) $\int (x^2+5x+1)^3(2x+5) \, dx$

(2) $\int \cos^5 x \sin x \, dx$

(3) $\int x e^{x^2} \, dx$

(4) $\int (2e^x-1)^2 e^x \, dx$

2. 解き方の手順

(1)

置換積分を用います。

$u = x^2+5x+1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x+5$ より $du = (2x+5) \, dx$ となります。

よって、

$\int (x^2+5x+1)^3(2x+5) \, dx = \int u^3 \, du = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} (x^2+5x+1)^4 + C$

(2)

置換積分を用います。

$u = \cos x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = -\sin x$ より $du = -\sin x \, dx$ となります。

よって、

$\int \cos^5 x \sin x \, dx = \int u^5 (-du) = -\int u^5 \, du = -\frac{1}{6} u^6 + C = -\frac{1}{6} \cos^6 x + C$

(3)

置換積分を用います。

$u = x^2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $du = 2x \, dx$ となります。

よって、

$\int x e^{x^2} \, dx = \int e^u \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

(4)

まず$(2e^x-1)^2$を展開します。

$(2e^x-1)^2 = 4e^{2x}-4e^x+1$

よって、

$\int (2e^x-1)^2 e^x \, dx = \int (4e^{2x}-4e^x+1) e^x \, dx = \int (4e^{3x} - 4e^{2x} + e^x) \, dx$

$= 4 \int e^{3x} \, dx - 4 \int e^{2x} \, dx + \int e^x \, dx = 4 \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - 4 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + e^x + C = \frac{4}{3} e^{3x} - 2 e^{2x} + e^x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4} (x^2+5x+1)^4 + C$

(2) $-\frac{1}{6} \cos^6 x + C$

(3) $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

(4) $\frac{4}{3} e^{3x} - 2 e^{2x} + e^x + C$