3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の極大値と極小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ をすべて求める。 (3) $0 \le a \le 1$ とし、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の極大値と極小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ をすべて求める。

(3) $0 \le a \le 1$ とし、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

解の公式より

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$f'(x)$ は正から負に変わるので、$f(x)$ は極大となる。

$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$f'(x)$ は負から正に変わるので、$f(x)$ は極小となる。

$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、極大値は $f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、極小値は $f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

極大値をとる $x$ の値は $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ であり、極小値をとる $x$ の値は $x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1-\frac{\sqrt{3}}{3})$

$= 1 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3} -3(1-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}) + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= 1 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3} -3 + 2\sqrt{3} - 1 + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= -1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1+\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1+\frac{\sqrt{3}}{3})$

$= 1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} -3(1+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}) + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= 1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} -3 - 2\sqrt{3} - 1 + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= -1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2)

$f(a) = f(2a)$ を満たす $a$ を求める。

$a^3 - 3a^2 + 2a = (2a)^3 - 3(2a)^2 + 2(2a)$

$a^3 - 3a^2 + 2a = 8a^3 - 12a^2 + 4a$

$0 = 7a^3 - 9a^2 + 2a$

$0 = a(7a^2 - 9a + 2)$

$0 = a(7a - 2)(a - 1)$

$a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3)

$g(a)$ は、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ のとき、$x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423$

$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.577$

$0 \le a \le 1$ の範囲で考える。

$0 \le a \le \frac{1}{2}$ のとき、$a \le x \le 2a$ の範囲では、$f(x)$ は単調減少である。

よって、$g(a) = f(a) = a^3 - 3a^2 + 2a$

$\frac{1}{2} < a \le 1-\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ は $a \le x \le 2a$ に含まれないので、 $g(a) = f(a)$となるか、$g(a) = f(2a)$となる。

$2a< 1+\frac{\sqrt{3}}{3}$を満たす。

$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \le a \le 1+\frac{\sqrt{3}}{3}$のとき、$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$が含まれる。

$f(0.423) \approx -0.112$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき極大値 $-1 + \frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとり、$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき極小値 $-1 - \frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる。

(2) $a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3) $g(a)$ のグラフは省略。最大値は、$a = 0$ のとき、$g(0) = 0$ となる。

$g(a)=f(a) = a^3 - 3a^2 + 2a$ のとき、$g'(a) = 3a^2 - 6a + 2$ となる。

$g'(a) = 0$ のとき、$a = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ となる。

極大値: $-1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

極小値: $-1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$a = 0, \frac{2}{7}, 1$

$g(a)$のグラフは省略。

$g(a)$の最大値は0。