$\int \frac{x-2}{\sqrt{x}} dx$ を計算せよ。

## 問題 (2)

1. 問題の内容

$\int \frac{x-2}{\sqrt{x}} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{x-2}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} = x^{1/2} - 2x^{-1/2}$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{2}{3}x^{3/2} + C_1$

$\int 2x^{-1/2} dx = 2 \int x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C_2 = 4x^{1/2} + C_2$

したがって、

$\int \frac{x-2}{\sqrt{x}} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - 4x^{1/2} + C$ (ただし、$C = C_1 - C_2$)

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x^{3/2} - 4x^{1/2} + C$

## 問題 (3)

1. 問題の内容

$\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(\sqrt{x}+1)^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 = x + 2\sqrt{x} + 1$

したがって、

$\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 1 + 2x^{-1/2} + \frac{1}{x}$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int 2x^{-1/2} dx = 2 \int x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C_2 = 4x^{1/2} + C_2$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_3$

したがって、

$\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx = x + 4\sqrt{x} + \ln|x| + C$ (ただし、$C = C_1 + C_2 + C_3$)

3. 最終的な答え

$x + 4\sqrt{x} + \ln|x| + C$