関数 $y = \cos^3 x - \sin^3 x$ の $0 \le x \le 2\pi$ における最大値と最小値を求める問題です。写真には微分したと思われる式 $y' = -3\cos^2 x \sin x - 3\sin^2 x \cos x$ が書かれています。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^3 x - \sin^3 x$ の $0 \le x \le 2\pi$ における最大値と最小値を求める問題です。写真には微分したと思われる式 $y' = -3\cos^2 x \sin x - 3\sin^2 x \cos x$ が書かれています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して極値を求めます。

$y = \cos^3 x - \sin^3 x$

$y' = -3\cos^2 x \sin x - 3\sin^2 x \cos x = -3\sin x \cos x (\cos x + \sin x)$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3\sin x \cos x (\cos x + \sin x) = 0$ より、

$\sin x = 0$ または $\cos x = 0$ または $\cos x + \sin x = 0$

(1) $\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi, 2\pi$

(2) $\cos x = 0$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

(3) $\cos x + \sin x = 0$ のとき、$\sin x = -\cos x$。

$\tan x = -1$ より、$x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

これらの $x$ の値に対して、$y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = \cos^3 0 - \sin^3 0 = 1 - 0 = 1$

$x = \pi$ のとき、$y = \cos^3 \pi - \sin^3 \pi = (-1)^3 - 0 = -1$

$x = 2\pi$ のとき、$y = \cos^3 2\pi - \sin^3 2\pi = 1 - 0 = 1$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = \cos^3 \frac{\pi}{2} - \sin^3 \frac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$y = \cos^3 \frac{3\pi}{2} - \sin^3 \frac{3\pi}{2} = 0 - (-1) = 1$

$x = \frac{3\pi}{4}$ のとき、$y = \cos^3 \frac{3\pi}{4} - \sin^3 \frac{3\pi}{4} = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = -\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{7\pi}{4}$ のとき、$y = \cos^3 \frac{7\pi}{4} - \sin^3 \frac{7\pi}{4} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - (-\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、最大値は $1$、最小値は $-1$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 1

最小値: -1