問題文から、$f(x) = -\frac{x^3}{9} -ax^2 + bx$ という関数が与えられており、その導関数$f'(x)$を求め、点A(3, 3)において直線 $y=x$ と曲線Cが接しているという条件から$a, b$ の値を決定する。最後に、$f(x)$ の概形を5つの選択肢から選ぶ問題である。

1. 問題の内容

問題文から、$f(x) = -\frac{x^3}{9} -ax^2 + bx$ という関数が与えられており、その導関数$f'(x)$を求め、点A(3, 3)において直線 $y=x$ と曲線Cが接しているという条件から$a, b$ の値を決定する。最後に、$f(x)$ の概形を5つの選択肢から選ぶ問題である。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$の導関数$f'(x)$を求める。

$f'(x) = -\frac{3x^2}{9} - 2ax + b = -\frac{x^2}{3} - 2ax + b$

点(3, 3)において$y=f(x)$と$y=x$が接することから、以下の2つの条件が成り立つ。

(i) $f(3) = 3$

(ii) $f'(3) = 1$ (接線の傾き)

(i) $f(3) = -\frac{3^3}{9} - a(3^2) + b(3) = -\frac{27}{9} - 9a + 3b = -3 - 9a + 3b = 3$

したがって、$-9a + 3b = 6$

両辺を3で割ると、$-3a + b = 2$ ... (1)

(ii) $f'(3) = -\frac{3^2}{3} - 2a(3) + b = -\frac{9}{3} - 6a + b = -3 - 6a + b = 1$

したがって、$-6a + b = 4$ ... (2)

(2) - (1)より、$(-6a + b) - (-3a + b) = 4 - 2$

$-3a = 2$

$a = -\frac{2}{3}$

(1)に代入して、$b = 2 + 3a = 2 + 3(-\frac{2}{3}) = 2 - 2 = 0$

よって、$a = -\frac{2}{3}$、 $b = 0$である。

$f(x) = -\frac{x^3}{9} + \frac{2}{3}x^2$

$f'(x) = -\frac{x^2}{3} + \frac{4}{3}x = -\frac{x}{3}(x-4)$

$f'(x) = 0$となるのは、$x = 0, 4$のとき。

$f(0) = 0$

$f(4) = -\frac{4^3}{9} + \frac{2}{3}(4^2) = -\frac{64}{9} + \frac{32}{3} = -\frac{64}{9} + \frac{96}{9} = \frac{32}{9} \approx 3.56$

$f''(x) = -\frac{2x}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}(-x + 2)$

$f''(x) = 0$となるのは、$x = 2$のとき。

$f(2) = -\frac{8}{9} + \frac{8}{3} = -\frac{8}{9} + \frac{24}{9} = \frac{16}{9} \approx 1.78$

x | 0 | | 2 | | 4 | |

--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

f'(x) | 0 | + | + | 0 | - | - |

f''(x) | + | + | 0 | - | - | - |

f(x) | 0 | ↑ convex | 16/9 | ↓ concave | 32/9 | ↓ concave |

グラフは原点を通り、$x=4$で極大値をとり、変曲点が$x=2$の場所にある。

選択肢の中で最も適当なものは③である。

3. 最終的な答え

ア: $-\frac{x^2}{3}$

イ: $2$

ウ: $1$

エ: $3$

オ: $-\frac{2}{3}$

カ: $3$

キ: $0$

ク: ③