関数 $y = \tan^2 \theta + k \tan \theta$ があり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = 6$ である。ただし、$k$ は定数とする。 (1) $k$ の値を求めよ。 (2) $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$y = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。 (3) $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ における $y$ の最小値を求めよ。また、$y$ が最小値をとるときの $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$\sin 2\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^2 \theta + k \tan \theta$ があり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = 6$ である。ただし、$k$ は定数とする。

(1) $k$ の値を求めよ。

(2) $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$y = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。

(3) $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ における $y$ の最小値を求めよ。また、$y$ が最小値をとるときの $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$\sin 2\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = 6$ より、$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ であるから、

$6 = (\sqrt{3})^2 + k\sqrt{3} = 3 + k\sqrt{3}$

$k\sqrt{3} = 3$

$k = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

(2) $y = \tan^2 \theta + \sqrt{3} \tan \theta = 0$

$\tan \theta (\tan \theta + \sqrt{3}) = 0$

$\tan \theta = 0$ または $\tan \theta = -\sqrt{3}$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$\tan \theta = 0$ のとき $\theta = 0$ であり、$\tan \theta = -\sqrt{3}$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{3}$ である。

(3) $y = \tan^2 \theta + \sqrt{3} \tan \theta = (\tan \theta + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (\tan \theta + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{3}{4}$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ において、$\tan \theta$ はすべての実数値を取りうるので、$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき最小値 $-\frac{3}{4}$ をとる。

$y$ が最小値をとるときの $\theta$ の値 $\alpha$ は、$\tan \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{-\sqrt{3}}{\frac{7}{4}} = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $k = \sqrt{3}$

(2) $\theta = 0, -\frac{\pi}{3}$

(3) 最小値: $-\frac{3}{4}$, $\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$