次の2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} (-x^3 + x + 1)$ (2) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x - 1)$

1. 問題の内容

次の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} (-x^3 + x + 1)$

(2) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x - 1)$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} (-x^3 + x + 1)$ を求める。

多項式の極限では、最も次数の高い項が支配的になります。つまり、$x$ が非常に大きい場合、$x^3$ が他の項 ($x$ や $1$) よりも圧倒的に大きくなるため、$x^3$ の項のみを考えれば十分です。

ここでは、$x^3$ の係数が $-1$ であるため、$x \to \infty$ のとき $-x^3 \to -\infty$ となります。

よって、$\lim_{x \to \infty} (-x^3 + x + 1) = -\infty$ となります。

(2) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x - 1)$ を求める。

同様に、多項式の極限では、最も次数の高い項が支配的になります。

ここでは、$x^2$ が他の項 ($x$ や $-1$) よりも圧倒的に大きくなるため、$x^2$ の項のみを考えれば十分です。

$x \to -\infty$ のとき、$x^2 \to \infty$ となります。

よって、$\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x - 1) = \infty$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} (-x^3 + x + 1) = -\infty$

(2) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x - 1) = \infty$