問題は、関数 $f(x) = \frac{x^3}{9} - ax^2 + bx$ が与えられ、曲線 $C: y = f(x)$ が直線 $l: y = x$ と点 $A(3, 3)$ で接しているという条件のもとで、$f'(x)$、$f'(3)$、$f(3)$、 $a$、$b$ の値を求め、さらに曲線 $C$ の概形を選択肢から選ぶものです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = \frac{x^3}{9} - ax^2 + bx$ が与えられ、曲線 $C: y = f(x)$ が直線 $l: y = x$ と点 $A(3, 3)$ で接しているという条件のもとで、$f'(x)$、$f'(3)$、$f(3)$、 $a$、$b$ の値を求め、さらに曲線 $C$ の概形を選択肢から選ぶものです。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = \frac{x^3}{9} - ax^2 + bx$ を $x$ で微分すると、

$$f'(x) = \frac{1}{9} \cdot 3x^2 - 2ax + b = \frac{x^2}{3} - 2ax + b$$

したがって、アは $\frac{1}{3}$ 、イは $2$ である。

(2) $f'(3)$ と $f(3)$ の値を求める。

点 $A(3, 3)$ で曲線 $C$ が直線 $l: y = x$ と接しているので、$f(3) = 3$ かつ $f'(3) = 1$ が成り立つ。

したがって、ウは $1$ 、エは $3$ である。

(3) $a$ と $b$ の値を求める。

$f(3) = \frac{3^3}{9} - a(3^2) + b(3) = 3 - 9a + 3b = 3$ より、

$$-9a + 3b = 0$$

$$-3a + b = 0$$

$$b = 3a$$

$f'(3) = \frac{3^2}{3} - 2a(3) + b = 3 - 6a + b = 1$ より、

$$-6a + b = -2$$

$b = 3a$ を代入して、

$$-6a + 3a = -2$$

$$-3a = -2$$

$$a = \frac{2}{3}$$

$b = 3a = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

したがって、オは $\frac{2}{3}$ 、カは $3$ 、キは $2$ である。

(4) 曲線の概形を考える。

$f(x) = \frac{x^3}{9} - \frac{2}{3} x^2 + 2x$

$f'(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{4}{3} x + 2$

$f'(x) = 0$ を解くと、$x = \frac{\frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9} - \frac{24}{9}}}{\frac{2}{3}}$ であり、実数解を持たない。したがって、$f(x)$ は単調増加である。また、$x=3$ のとき、$f(3)=3$であることから、グラフの概形は0になる。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{3}$

イ: $2$

ウ: $1$

エ: $3$

オ: $\frac{2}{3}$

カ: $3$

キ: $2$

ク: $0$