与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to \infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 - 4}$ (2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x)$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to \infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 - 4}$

(2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x)$

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x\to \infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 - 4} = \lim_{x\to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{3}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$、$\frac{4}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x\to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

(2) $(\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x)$ に $(\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x)$ を掛けて分子からルートをなくします。

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x) = \lim_{x\to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x)(\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x}$

$= \lim_{x\to \infty} \frac{(x^2 + 2x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x}$

$= \lim_{x\to \infty} \frac{2x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x}$

分子と分母を$x$で割ります。

$= \lim_{x\to \infty} \frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$、$\frac{2}{x^2} \to 0$ なので、

$= \frac{2 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1