次の4つの極限を求めよ。 (1) $\lim_{x \to \infty} 3^{-x}$ (2) $\lim_{x \to \infty} (3^x - 4^x)$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 2^x}{3^x + 2^x}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$

1. 問題の内容

次の4つの極限を求めよ。

(1) $\lim_{x \to \infty} 3^{-x}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (3^x - 4^x)$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 2^x}{3^x + 2^x}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to \infty$ のとき、$3^{-x} = \frac{1}{3^x} \to 0$ である。

(2)

$\lim_{x \to \infty} (3^x - 4^x) = \lim_{x \to \infty} 4^x \left( \left(\frac{3}{4}\right)^x - 1 \right)$

$x \to \infty$ のとき、 $(\frac{3}{4})^x \to 0$ である。したがって、

$\lim_{x \to \infty} 4^x ( (\frac{3}{4})^x - 1 ) = -\infty$

(3)

$\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 2^x}{3^x + 2^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - (2/3)^x}{1 + (2/3)^x}$

$x \to \infty$ のとき、 $(2/3)^x \to 0$ である。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - (2/3)^x}{1 + (2/3)^x} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

(4)

$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{-x}}{2^x + 2^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{2x} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$2^{2x} \to \infty$ である。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{2x} + 1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $-\infty$

(3) 1

(4) 0