はい、承知しました。問題文にある数学の問題を解きます。

はい、承知しました。問題文にある数学の問題を解きます。

**

1. 問題の内容**

複数の数学の問題が提示されています。それぞれ、

1. 円周率$\pi$に関するデデキント切断

2. 集合の上限、下限、最大値、最小値

3. 数列の収束の$\epsilon$-$N$論法による記述と証明

4. 極限の$\epsilon$-$N$論法による記述

5. 極限の計算（$\sum_{k=1}^{n} k^2 / n^3$）

6. 極限の計算（$(1 - 2/n)^n$）

7. 極限の計算（$(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) / x$）

8. 関数の連続性

9. 接線の方程式

1

0. 逆三角関数の導関数

1

1. 関数のn階導関数

1

2. マクローリン展開

1

3. マクローリン展開と近似値

1

4. マクローリン展開の比較

1

5. 複素数の指数関数

**

2. 解き方の手順**

1. **円周率 $\pi$ のデデキント切断**

有理数全体の集合 $Q$ を、$\pi$ より小さい有理数の集合 $A$ と、$\pi$ 以上の有理数の集合 $B$ に分割します。

$A = \{q \in Q \mid q < \pi\}$, $B = \{q \in Q \mid q \geq \pi\}$.

2. **集合の上限、下限、最大値、最小値**

- $A = (-3, 5)$:

- 下限: -3, 上限: 5

- 最小値: なし, 最大値: なし

- $B = \{1 + \frac{1}{n} \mid n \in N\}$ ($N$ は 0 を含まない自然数全体):

- 下限: 1, 上限: 2

- 最小値: 1, 最大値: 2

3. **数列の収束の $\epsilon$-$N$ 論法による記述と証明**

- 仮定: 数列 $(a_n)$ が $a$ に収束するとは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|a_n - a| < \epsilon$ が成り立つことをいう。

- 結論: 数列 $(|a_n|)$ が $|a|$ に収束するとは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $||a_n| - |a|| < \epsilon$ が成り立つことをいう。

- 証明: $||a_n| - |a|| \leq |a_n - a|$ であるから、$(a_n)$ が $a$ に収束するならば、$(|a_n|)$ は $|a|$ に収束する。

4. **極限の $\epsilon$-$N$ 論法による記述**

- $\lim_{n \to \infty} 10^{-n} = 0$ を $\epsilon$-$N$ 論法で記述すると、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|10^{-n} - 0| < \epsilon$ が成り立つ。

- $\epsilon = 0.01$ のとき、

$10^{-n} < 0.01$

$10^{-n} < 10^{-2}$

$n > 2$

したがって、$N = 2$ より大きい最小の自然数、つまり3以上であれば良い。

5. **極限の計算 ($\sum_{k=1}^{n} k^2 / n^3$)**

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} = \frac{1}{3}$

6. **極限の計算 ($(1 - 2/n)^n$)**

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{n})^n = e^{-2}$

7. **極限の計算 ($\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$)**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x - (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{2}{1+1} = 1$

8. **関数の連続性**

$f(x) = |x-1| + |x+1|$ は、絶対値関数が連続なので、連続である。

微分可能でない点は、$x = 1$ と $x = -1$ である。

9. **接線の方程式**

$y = e^{-x}$ のとき、$y' = -e^{-x}$

$x = e$ における接線の傾きは、$y'(e) = -e^{-e}$.

点 $(e, e^{-e})$ を通る接線の方程式は、$y - e^{-e} = -e^{-e} (x - e)$.

したがって、$y = -e^{-e} x + (e+1) e^{-e}$

1

0. **逆三角関数の導関数**

$f(x) = \arctan(x) + \arctan(1/x)$

$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + (1/x)^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0$

1

1. **関数の n 階導関数**

$f(x) = xe^{5x}$

$f'(x) = e^{5x} + 5xe^{5x} = (1 + 5x)e^{5x}$

$f''(x) = 5e^{5x} + 5(1+5x)e^{5x} = (10 + 25x)e^{5x}$

$f'''(x) = 25e^{5x} + 5(10+25x)e^{5x} = (75 + 125x)e^{5x}$

$f^{(n)}(x) = (5^{n-1}n + 5^n x)e^{5x}$

1

2. **マクローリン展開**

$f(x) = e^{-x^2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + ...$

1

3. **マクローリン展開と近似値**

$f(x) = \log(1+x)$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$

n = 3 のとき、 $\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

$\log(1.001) = \log(1+0.001) \approx 0.001 - \frac{0.001^2}{2} + \frac{0.001^3}{3} \approx 0.0009995$

1

4. **マクローリン展開の比較**

$f(x) = (x+1)^6$

$n=3$ のときのマクローリン展開は、

$(x+1)^6 \approx 1 + 6x + 15x^2 + 20x^3$

$(x+1)^6$を$x$のべき乗に展開すると、$1 + 6x + 15x^2 + 20x^3 + 15x^4 + 6x^5 + x^6$となります。したがって、近似式は3次までの項まで一致しますが、それ以上の項は無視しています。

1

5. **複素数の指数関数**

$\theta = -2 + \frac{\pi}{4} i$

$e^{\theta} = e^{-2 + \frac{\pi}{4} i} = e^{-2} e^{\frac{\pi}{4} i} = e^{-2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})) = e^{-2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2e^2} + \frac{\sqrt{2}}{2e^2} i$

**

3. 最終的な答え**

上記に各問題の答えを記載しました。