数列$\{a_n\}$が、$a_1 = \frac{c}{1+c}$、$a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n}$ (n=1, 2, 3, ...)を満たすとする。ただし、$c$は正の実数である。 (1) $a_2$, $a_3$を求めよ。 (2) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ。 (3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1)$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = \frac{c}{1+c}$、$a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n}$ (n=1, 2, 3, ...)を満たすとする。ただし、$c$は正の実数である。

(1) $a_2$, $a_3$を求めよ。

(2) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_2$, $a_3$を求める。

$a_2 = \frac{1}{2-a_1} = \frac{1}{2 - \frac{c}{1+c}} = \frac{1+c}{2(1+c) - c} = \frac{1+c}{2+c}$

$a_3 = \frac{1}{2-a_2} = \frac{1}{2 - \frac{1+c}{2+c}} = \frac{2+c}{2(2+c)-(1+c)} = \frac{2+c}{4+2c-1-c} = \frac{2+c}{3+c}$

(2) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求める。

$a_1 = \frac{c}{1+c}$

$a_2 = \frac{1+c}{2+c}$

$a_3 = \frac{2+c}{3+c}$

と予想されるので、$a_n = \frac{n-1+c}{n+c}$と推測する。

数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$のとき、$a_1 = \frac{1-1+c}{1+c} = \frac{c}{1+c}$となり成立する。

(ii) $n=k$のとき、$a_k = \frac{k-1+c}{k+c}$が成立すると仮定する。

$a_{k+1} = \frac{1}{2 - a_k} = \frac{1}{2 - \frac{k-1+c}{k+c}} = \frac{k+c}{2(k+c) - (k-1+c)} = \frac{k+c}{2k+2c - k+1-c} = \frac{k+c}{k+1+c} = \frac{(k+1)-1+c}{(k+1)+c}$

したがって、$n=k+1$のときも成立する。

よって、$a_n = \frac{n-1+c}{n+c}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1)$を求める。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+c}{n+1+c}}{\frac{n-1+c}{n+c}} = \frac{(n+c)^2}{(n+1+c)(n-1+c)} = \frac{(n+c)^2}{((n+c)+1)((n+c)-1)} = \frac{(n+c)^2}{(n+c)^2 - 1}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 = \frac{(n+c)^2}{(n+c)^2-1} - 1 = \frac{(n+c)^2 - ((n+c)^2 - 1)}{(n+c)^2 - 1} = \frac{1}{(n+c)^2 - 1} = \frac{1}{n^2 + 2nc + c^2 - 1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+c)^2 - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+c-1)(n+c+1)}$

$\frac{1}{(n+c-1)(n+c+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n+c-1} - \frac{1}{n+c+1})$

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n+c-1} - \frac{1}{n+c+1})$

$= \frac{1}{2} [ (\frac{1}{c} - \frac{1}{c+2}) + (\frac{1}{1+c} - \frac{1}{2+c}) + (\frac{1}{2+c} - \frac{1}{3+c}) + (\frac{1}{3+c} - \frac{1}{4+c}) + ... ]$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{c} + \frac{1}{1+c})$

$= \frac{1}{2} (\frac{1+c+c}{c(1+c)}) = \frac{1+2c}{2c(1+c)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{1+c}{2+c}$, $a_3 = \frac{2+c}{3+c}$

(2) $a_n = \frac{n-1+c}{n+c}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1) = \frac{1+2c}{2c(1+c)}$