関数 $y = 10^{\sqrt{x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 10^{\sqrt{x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、指数関数の微分公式を確認します。$y = a^x$ のとき、$\frac{dy}{dx} = a^x \ln a$ です。

(2) 次に、合成関数の微分（連鎖律）を使います。$y = f(g(x))$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ です。

(3) 与えられた関数を $y = 10^{\sqrt{x}}$ とします。ここで、$u = \sqrt{x}$ とおくと、$y = 10^u$ となります。

(4) $\frac{dy}{du}$ を計算します。指数関数の微分公式より、

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(10^u) = 10^u \ln 10$

(5) $\frac{du}{dx}$ を計算します。$u = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であるから、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(6) 連鎖律を使って $\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (10^u \ln 10) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(7) $u$ を $\sqrt{x}$ に戻します。

$\frac{dy}{dx} = (10^{\sqrt{x}} \ln 10) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{10^{\sqrt{x}} \ln 10}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{10^{\sqrt{x}} \ln 10}{2\sqrt{x}}$