与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。2つの問題があります。 (1) $f(x) = x^2 - 1 + \int_0^1 tf(t) dt$ (2) $f(x) = 3x + \int_0^1 (x+t)f(t) dt$

1. 問題の内容

与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。2つの問題があります。

(1) $f(x) = x^2 - 1 + \int_0^1 tf(t) dt$

(2) $f(x) = 3x + \int_0^1 (x+t)f(t) dt$

2. 解き方の手順

(1) の問題

$\int_0^1 tf(t) dt$ は定数なので、これを $A$ と置きます。

$A = \int_0^1 tf(t) dt$

すると、$f(x) = x^2 - 1 + A$ となります。

この $f(x)$ を $A$ の式に代入します。

$A = \int_0^1 t(t^2 - 1 + A) dt = \int_0^1 (t^3 - t + At) dt$

$A = \left[\frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{A}{2}t^2\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{A}{2}$

$A = -\frac{1}{4} + \frac{A}{2}$

$\frac{A}{2} = -\frac{1}{4}$

$A = -\frac{1}{2}$

したがって、$f(x) = x^2 - 1 - \frac{1}{2} = x^2 - \frac{3}{2}$

(2) の問題

$\int_0^1 (x+t)f(t) dt$ を展開すると、

$\int_0^1 (x+t)f(t) dt = \int_0^1 xf(t) dt + \int_0^1 tf(t) dt = x\int_0^1 f(t) dt + \int_0^1 tf(t) dt$

$\int_0^1 f(t) dt = A$ , $\int_0^1 tf(t) dt = B$ と置くと、

$f(x) = 3x + Ax + B = (3+A)x + B$

$A = \int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 ((3+A)t + B) dt = \left[\frac{3+A}{2}t^2 + Bt\right]_0^1 = \frac{3+A}{2} + B$

$A = \frac{3+A}{2} + B$

$2A = 3+A+2B$

$A - 2B = 3$ ...(1)

$B = \int_0^1 tf(t) dt = \int_0^1 t((3+A)t + B) dt = \int_0^1 ((3+A)t^2 + Bt) dt = \left[\frac{3+A}{3}t^3 + \frac{B}{2}t^2\right]_0^1 = \frac{3+A}{3} + \frac{B}{2}$

$B = \frac{3+A}{3} + \frac{B}{2}$

$6B = 6+2A+3B$

$3B = 6+2A$

$2A - 3B = -6$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

$A - 2B = 3$ ...(1)

$2A - 3B = -6$ ...(2)

(2) - 2*(1):

$2A - 3B - 2(A - 2B) = -6 - 2*3$

$2A - 3B - 2A + 4B = -12$

$B = -12$

(1)より、$A = 3 + 2B = 3 + 2(-12) = 3 - 24 = -21$

$f(x) = (3+A)x + B = (3-21)x - 12 = -18x - 12$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2 - \frac{3}{2}$

(2) $f(x) = -18x - 12$