(1) $S_n = \sum_{k=1}^n k(\frac{1}{3})^k$ とおくとき、$\lim_{n\to\infty} S_n$ を求めよ。 (2) 最初に $n$ 回を限度として2以下の目が出るまでサイコロを投げ、次にサイコロを投げた回数だけコインを投げる。ただし、サイコロを $n$ 回投げて $n$ 回とも3以上の目が出たときには、コインを $n$ 回投げる。コインの表がちょうど1回出る確率を $P_n$ とするとき、$\lim_{n\to\infty} P_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $S_n = \sum_{k=1}^n k(\frac{1}{3})^k$ とおくとき、$\lim_{n\to\infty} S_n$ を求めよ。

(2) 最初に $n$ 回を限度として2以下の目が出るまでサイコロを投げ、次にサイコロを投げた回数だけコインを投げる。ただし、サイコロを $n$ 回投げて $n$ 回とも3以上の目が出たときには、コインを $n$ 回投げる。コインの表がちょうど1回出る確率を $P_n$ とするとき、$\lim_{n\to\infty} P_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$S_n$ を計算する。

$S_n = \sum_{k=1}^n k(\frac{1}{3})^k = \frac{1}{3} + 2(\frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{3})^3 + ... + n(\frac{1}{3})^n$

$\frac{1}{3}S_n = (\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3})^3 + 3(\frac{1}{3})^4 + ... + (n-1)(\frac{1}{3})^n + n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$S_n - \frac{1}{3}S_n = \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + ... + (\frac{1}{3})^n - n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$\frac{2}{3}S_n = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} - n(\frac{1}{3})^{n+1} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} - n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$\frac{2}{3}S_n = \frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) - n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$S_n = \frac{3}{4}(1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3}{2}n(\frac{1}{3})^{n+1}$

$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{3}{4}(1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3}{2}n(\frac{1}{3})^{n+1} = \frac{3}{4} - 0 - 0 = \frac{3}{4}$ (∵ $0 < \frac{1}{3} < 1$ より $\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{3})^n = 0$ であり、$\lim_{n\to\infty} n(\frac{1}{3})^n = 0$ を用いた)

(2) サイコロを $n$ 回投げて2以下の目が出た回数を $k$ とする。$k=0,1,...,n$ である。コインを投げる回数は $k$ 回、または $n$ 回である。

$P(k=0) = (\frac{2}{3})^n$ のとき、コインを $n$ 回投げて表がちょうど1回出る確率は $n(\frac{1}{2})^n$

$P(k=1) = {}_n C_1 (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^{n-1}$ のとき、コインを 1 回投げて表がちょうど1回出る確率は $\frac{1}{2}$

$P(k=2) = {}_n C_2 (\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^{n-2}$ のとき、コインを 2 回投げて表がちょうど1回出る確率は $2(\frac{1}{2})^2$

...

$P(k=n) = (\frac{1}{3})^n$ のとき、コインを $n$ 回投げて表がちょうど1回出る確率は $n(\frac{1}{2})^n$

$P_n = (\frac{2}{3})^n n(\frac{1}{2})^n + \sum_{k=1}^n {}_n C_k (\frac{1}{3})^k (\frac{2}{3})^{n-k} k(\frac{1}{2})^k$

$P_n = n(\frac{1}{3})^n (\frac{1}{2})^n + \sum_{k=1}^n {}_n C_k (\frac{1}{6})^k (\frac{2}{3})^{n-k} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k (\frac{1}{6})^k (\frac{2}{3})^{n-k} - (\frac{2}{3})^n$

$P_n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k (\frac{1}{6})^k (\frac{4}{6})^{n-k} - (\frac{2}{3})^n = (\frac{1}{6} + \frac{4}{6})^n - (\frac{2}{3})^n = (\frac{5}{6})^n - (\frac{2}{3})^n$

$\lim_{n\to\infty} P_n = \lim_{n\to\infty} [(\frac{5}{6})^n - (\frac{2}{3})^n] = 0 - 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{3}{4}$

(2) $\lim_{n\to\infty} P_n = 0$